Calcule a área da superfície limitada pela curva y=x^3-x e pelas retas y=0, x=-2 e x=2. Resposta: 5 u.a.

Passo 1

O enunciado pede calcular a área da região limitada pela curva y = x^3 - x, pela reta y=0 e pelas retas verticais x=-2 e x=2. Este problema envolve integrar a função em valor absoluto no intervalo [-2,2].

Passo 2

Para lidar com o valor absoluto, primeiro encontramos onde y = x^3 - x corta y=0. Resolvendo x^3 - x = 0 obtemos ao fatorar x(x^2 - 1)=0 as raízes x=-1, x=0 e x=1. Entre esses pontos o sinal de y muda, obrigando-nos a dividir o integral nos intervalos [-2,-1], [-1,0], [0,1] e [1,2].

Passo 3

Expressamos a área como soma de integrais de lvert x^3 - xrvert nesses subintervalos:
A = integral-2^2 |x^3 - x| , dx = integral-2^-1 -(x^3 - x), dx + integral-1^0 (x^3 - x), dx + integral0^1 -(x^3 - x), dx + integral1^2 (x^3 - x), dx

Passo 4

A antiderivada de x^3 - x é F(x)=x^44 - x^22, e de -(x^3 - x) é $ -F(x)=\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}$. Avaliando cada integral:
-F(x)=x^22 - x^44

Passo 5

integral-1^0 (x^3 - x), dx = [x^44 - x^22]-1^0 = 14,

Passo 6

integral0^1 (x - x^3), dx = [x^22 - x^44]0^1 = 14,

Passo 7

integral1^2 (x^3 - x), dx = [x^44 - x^22]1^2 = 94

Passo 8

Somando esses resultados obtemos:
A = 94 + 14 + 14 + 94 = 204 = 5

Resposta

5 u.a.

Exercícios relacionados