Calcule as seguintes integrais.
integral1^9 raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral1^9 raizx , dx. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, mais especificamente com integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar a antiderivada da função raizx e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função raizx em termos de expoente, para facilitar a integração. Sabemos que raizx = x^1/2. Então, a integral fica:
integral1^9 x^12 , dx

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada de x^12. A regra geral para integrar x^n é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Então, temos:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Aplicando isso para n = 12:
integral x^12 , dx = x^12 + 112 + 1 + C = x^3232 + C = 23 x^32 + C

Passo 4

Como estamos lidando com uma integral definida de 1 a 9, não precisamos da constante C. Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para avaliar a antiderivada nos limites superior e inferior e subtrair:
[ 23 x^32 ]1^9 = 23 cdot 9^32 - 23 cdot 1^32

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
Primeiro, 9^32:
9^32 = (raiz9)^3 = 3^3 = 27
E 1^32:
1^32 = (raiz1)^3 = 1^3 = 1

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão:
23 cdot 27 - 23 cdot 1 = 543 - 23 = 18 - 23 = 543 - 23 = 523

Resposta

A integral integral1^9 raizx , dx é igual a 523.

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