Calcule a área da superfície limitada pela curva y=-x^2+1 pelo eixo dos x. (construa o gráfico)

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva y = -x² + 1 e o eixo x. Vamos usar integração definida, pois estamos calculando área sob uma curva.

Passo 2

Primeiro determinamos onde a curva cruza o eixo x, isto é, resolvemos y = 0: -x² + 1 = 0² leva a x² = 1², logo os pontos de interseção são x = -1 e x = 1.

Passo 3

Para construir o gráfico, observamos que é uma parábola invertida (concavidade para baixo) com vértice em (0,1) e interceptações em (-1,0) e (1,0). A área desejada é a região entre essa parábola e o eixo x, de x=-1 até x=1.

Passo 4

Aplicamos a definição de área sob a curva:
Área = integral-1^1 (-x^2 + 1) , dxÁ

Passo 5

Agora procedemos ao cálculo da integral:
integral (-x^2 + 1) , dx = integral -x^2 , dx + integral 1 , dx = -x^33 + x + C

Passo 6

Calculamos o valor definido de -1 a 1:
l[-tfracx^33 + xr]-1^1 = l(-tfrac1^33 + 1r) - l(-tfrac(-1)^33 + (-1)r)

Passo 7

Simplificando:
(-tfrac13 + 1) - (tfrac13 - 1) = l(tfrac23r) - l(-tfrac23r) = tfrac43

Resposta

A área da região é dfrac43.

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