Calcule
lim x pi sin (x^2-pi^2)x-pi

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse problema está relacionado com limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com senos e fatores que tendem a zero.

Passo 2

Primeiro, observe que quando x^2 - pi^2 = (x - pi)(x + pi) se aproxima de sin((x - pi)(x + pi)) , o denominador tende a zero. Vamos ver o que acontece com o numerador . Calculando:
Então, podemos reescrever o seno como:

Passo 3

Agora, substituímos isso na expressão original do limite:
lim x pi sin((x - pi)(x + pi))x - pi
Percebemos que temos a forma , onde .

Passo 4

Sabemos que lim x pi sin(u)u cdot ux - pi = lim x pi sin(u)u cdot (x + pi) . Mas aqui . Quando , .
Então, podemos reescrever o limite como:

Passo 5

Calculando cada parte separadamente:
lim u to 0 sin(u)u = 1
e
lim x pi (x + pi) = 2pi

Resposta

Multiplicando os limites, temos:
1 times 2pi = 2pi
Portanto, o limite é .

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