Calcule a área da superfície limitada pela curva y=x^2+1, pelo eixo dos x e pelas reta x=0 e x=3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a área da região que está limitada pela curva $ y = x^{2} + 1 $, pelo eixo dos $ x $, e pelas retas $ x = 0 $ e $ x = 3 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração definida, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Vamos começar visualizando a região que queremos calcular. A curva $ y = x^{2} + 1 $ é uma parábola que se abre para cima e está deslocada 1 unidade acima do eixo dos $ x $. As retas $ x = 0 $ e $ x = 3 $ são linhas verticais que limitam a área que vamos calcular.

Passo 3

Para encontrar a área entre a curva e o eixo dos $ x $ entre $ x = 0 $ e $ x = 3 $, usamos a integral definida. A fórmula geral para a área $ A $ é:
x
onde $ f(x) $ é a função que define a curva, e $ a $ e $ b $ são os limites de integração.

Passo 4

No nosso caso, $ f(x) = x^{2} + 1 $, $ a = 0 $ e $ b = 3 $. Então, substituindo esses valores na fórmula, temos:
f(x) = x^2 + 1

Passo 5

Agora, vamos calcular essa integral. Integramos termo a termo:
integral (x^2 + 1) , dx = integral x^2 , dx + integral 1 , dx = x^33 + x + C
onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar para áreas definidas.

Passo 6

Aplicamos os limites de integração de 0 a 3:
A = [ x^33 + x ]0^3 = ( 3^33 + 3 ) - ( 0^33 + 0 )

Passo 7

Calculando os valores:
A = ( 273 + 3 ) - (0 + 0) = (9 + 3) - 0 = 12

Resposta

A área da superfície limitada pela curva $ y = x^{2} + 1 $, pelo eixo dos $ x $, e pelas retas $ x = 0 $ e $ x = 3 $ é 12 unidades quadradas.

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