Calcule a área da superfície limitada pela curva
, pelo eixo dos
e pelas reta
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a área da região que está limitada pela curva $ y = x^{2} + 1 $, pelo eixo dos $ x $, e pelas retas $ x = 0 $ e $ x = 3 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração definida, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Vamos começar visualizando a região que queremos calcular. A curva $ y = x^{2} + 1 $ é uma parábola que se abre para cima e está deslocada 1 unidade acima do eixo dos $ x $. As retas $ x = 0 $ e $ x = 3 $ são linhas verticais que limitam a área que vamos calcular.
Passo 3
Para encontrar a área entre a curva e o eixo dos $ x $ entre $ x = 0 $ e $ x = 3 $, usamos a integral definida. A fórmula geral para a área $ A $ é:
onde $ f(x) $ é a função que define a curva, e $ a $ e $ b $ são os limites de integração.
Passo 4
No nosso caso, $ f(x) = x^{2} + 1 $, $ a = 0 $ e $ b = 3 $. Então, substituindo esses valores na fórmula, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular essa integral. Integramos termo a termo:
onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar para áreas definidas.
Passo 6
Aplicamos os limites de integração de 0 a 3:
Passo 7
Calculando os valores:
Resposta
A área da superfície limitada pela curva $ y = x^{2} + 1 $, pelo eixo dos $ x $, e pelas retas $ x = 0 $ e $ x = 3 $ é 12 unidades quadradas.