Considere a série sumn=1^+infty(-1)^n-1 e^-n. Verifique se sumn=1^+infty|(-1)^n-1 e^-n| atendem as hipóteses do teste da integral e em seguida decida se ela converge absolutamente. A seguir, conclua se ela converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série alternante sumn=1^infty(-1)^n-1e^-n, identificar se a série das valor absoluto sumn=1^inftye^-n satisfaz as hipóteses do teste da integral e, com isso, concluir sobre convergência absoluta, condicional ou divergência. Vamos usar teoria de séries e o teste da integral.

Passo 2

Para aplicar o teste da integral, definimos a função f(x)=e^-x para x>=1. Observamos que f(x)>0 e f'(x)=-e^-x<0, ou seja, f é positiva e estritamente decrescente em [1,infty). Assim, as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria:
integral1^inftye^-x,dx =limttoinftyl[-e^-xr]1^t =limttoinftyl(-e^-t+e^-1r) =e^-1
Como essa integral converge, o teste da integral garante que a série sumn=1^inftye^-n também converge.

Passo 4

Como sumn=1^inftye^-n converge, a série original converge absolutamente. Portanto não há apenas convergência condicional; ela converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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