Seja o campo vetorial
dado por
. Seja
a curva dada por
orientada no sentido anti-horário.
A partir da definição de integral de linha, calcule
.
A partir da definição de integral de linha, calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial $ F(x, y) = (-y, x) $ e uma curva $ c $ definida pela equação $ 4x^2 + y^2 = 4 $, que é uma elipse. A curva está orientada no sentido anti-horário. Nosso objetivo é calcular a integral de linha $ \oint_{c} F \cdot dr $.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como ela se relaciona com campos vetoriais e curvas no plano. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Imagine que o campo vetorial $ F $ representa uma força agindo sobre uma partícula ao longo da curva $ c $. A integral de linha $ \oint_{c} F \cdot dr $ mede o trabalho realizado por essa força ao percorrer a curva.
Aqui, $ dr $ é um elemento infinitesimal do deslocamento ao longo da curva, e o ponto entre $ F $ e $ dr $ representa o produto escalar entre os dois vetores.
Passo 3
Para calcular a integral de linha, precisamos parametrizar a curva $ c $. Nossa curva é uma elipse dada por $ 4x^2 + y^2 = 4 $. Podemos simplificar essa equação dividindo tudo por 4:
Isso nos mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento 1 na direção $ x $ e 2 na direção $ y $.
Então, podemos parametrizar a elipse usando um parâmetro $ t $ que varia de 0 a $ 2\pi $:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $:
Essas derivadas nos dão os componentes do vetor tangente $ dr $:
Passo 5
Agora, substituímos $ x(t) $ e $ y(t) $ na função $ F(x, y) $:
Passo 6
O próximo passo é calcular o produto escalar $ F \cdot dr $:
Simplificando:
Passo 7
Agora, podemos configurar a integral de linha:
Passo 8
Integramos:
Resposta
A integral de linha $ \oint_{c} F \cdot dr $ é igual a $ 4\pi $.