Seja o campo vetorial F: R^2 R^2 dado por F(x, y)=(-y, x). Seja c a curva dada por 4 x^2+y^2=4 orientada no sentido anti-horário.
A partir da definição de integral de linha, calcule ointc F cdot d r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial $ F(x, y) = (-y, x) $ e uma curva $ c $ definida pela equação $ 4x^2 + y^2 = 4 $, que é uma elipse. A curva está orientada no sentido anti-horário. Nosso objetivo é calcular a integral de linha $ \oint_{c} F \cdot dr $.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha e como ela se relaciona com campos vetoriais e curvas no plano. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Imagine que o campo vetorial $ F $ representa uma força agindo sobre uma partícula ao longo da curva $ c $. A integral de linha $ \oint_{c} F \cdot dr $ mede o trabalho realizado por essa força ao percorrer a curva.
Aqui, $ dr $ é um elemento infinitesimal do deslocamento ao longo da curva, e o ponto entre $ F $ e $ dr $ representa o produto escalar entre os dois vetores.

Passo 3

Para calcular a integral de linha, precisamos parametrizar a curva $ c $. Nossa curva é uma elipse dada por $ 4x^2 + y^2 = 4 $. Podemos simplificar essa equação dividindo tudo por 4:
c
Isso nos mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento 1 na direção $ x $ e 2 na direção $ y $.
Então, podemos parametrizar a elipse usando um parâmetro $ t $ que varia de 0 a $ 2\pi $:
4x^2 + y^2 = 4
x^21 + y^24 = 1

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $:
x(t)
y(t)
Essas derivadas nos dão os componentes do vetor tangente $ dr $:
t

Passo 5

Agora, substituímos $ x(t) $ e $ y(t) $ na função $ F(x, y) $:
x(t)

Passo 6

O próximo passo é calcular o produto escalar $ F \cdot dr $:
F cdot dr
Simplificando:
F cdot dr = (-2 sin t)(-sin t) + (cos t)(2 cos t) = 2 sin^2 t + 2 cos^2 t

Passo 7

Agora, podemos configurar a integral de linha:
ointc F cdot dr = integral0^2pi 2 , dt

Passo 8

Integramos:
integral0^2pi 2 , dt = 2t |0^2pi = 2(2pi) - 2(0) = 4pi

Resposta

A integral de linha $ \oint_{c} F \cdot dr $ é igual a $ 4\pi $.

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