Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva
y=x^56+110 x^3
em torno do eixo com 1 <= x <= 2 com o cálculo da área incluso.
Área =2 pi integral1^2 x(5 x^46+3 x^-410) d x=2 pi(5 x^636-3 x^-220)|1 ^2 Á

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada pela rotação da curva
y = x^56 + 110,x^3
para 1<= x<=2 em torno do eixo y. Foi dada diretamente a integral
Área = 2pi integral1^2 xl(5x^46 + 3x^-410r),dx Á
Nosso objetivo é calcular essa integral definida.

Passo 2

Distribuindo x dentro do integrando, temos
2pi integral1^2l(5x^56+3x^-310r),dx
Para cada termo, aplicamos integral x^ndx = x^n+1n+1. Assim,
integral 5x^56,dx = 56,x^66 = 5x^636, integral 3x^-310,dx = 310,x^-2-2 = -3x^-220
Logo, uma antiderivada é
F(x) = 2pil(5x^636 - 3x^-220r)

Passo 3

Avalia F em x=2:
F(2) = 2pil(5cdot2^636 - 3cdot2^-220r) =2pil(32036 - 380r) =2pil(809 - 380r)
Colocando sobre denominador comum 720:
809 = 6400720, 380=27720 Longrightarrow F(2)=2picdot6400-27720 =2picdot6373720 =6373pi360

Passo 4

Avalia F em x=1:
F(1) = 2pil(536-320r) =2pil(25-27180r) =2pil(-2180r) =-pi45

Passo 5

A área é F(2)-F(1):
6373pi360 - l(-pi45r) =6373pi360 + pi45 =6373pi360 + 8pi360 =6381pi360
Para simplificar, dividimos numerador e denominador por 3:
6381360=2127120 e de novo por 3: 2127120=70940

Resposta

boxed709pi40

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