Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
y^prime prime+9 y=169 t e^2 t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 9,y = 169,t,e^2t
O método consiste em achar a solução geral da homogênea associada e uma solução particular para o termo não homogêneo, depois somar ambas.

Passo 2

A parte homogênea é
yh'' + 9,yh = 0
A equação característica é r^2 + 9 = 0, cujas raízes são r = pm 3,i. Logo
yh(t) = C1cos(3t) + C2sin(3t),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular yp do tipo método dos coeficientes a determinar, observamos que o termo não homogêneo é 169,t,e^2t, ou seja, polinômio de grau 1 vezes e^2t. Como 2 não é raiz da característica, supomos
yp(t) = e^2t(A,t + B),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos yp' e yp'':
yp = e^2t(A,t + B),
yp' = e^2tl(2(A,t+B) + Ar) = e^2t(2A,t + 2B + A),
yp'' = e^2tl(2(2A,t+2B+A) + 2Ar) = e^2t(4A,t + 4B +4A)
Substituindo em y''+9y
yp'' + 9yp = e^2tl(4A,t + 4B +4Ar) +9,e^2t(A,t + B) = e^2tl((4A+9A),t + (4B+4A+9B)r) = e^2tl(13A,t + (4A+13B)r)

Passo 5

Esse resultado deve igualar 169,t,e^2t. Assim, igualamos coeficientes de t e termos constantes:
13A = 169 Longrightarrow A = 13,
4A + 13B = 0 Longrightarrow 4cdot 13 +13B = 0 Longrightarrow 52 +13B=0 Longrightarrow B=-4
Logo
yp(t) = e^2tl(13,t - 4r)

Resposta

A solução geral é
y(t) = C1cos(3t) + C2sin(3t) + e^2tl(13,t - 4r),
com C1, C2 constantes arbitrárias.

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