Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva dada ao redor do especificado em cada caso.
ao redor do eixo
.
Passo 1
O enunciado dá a curva
definida no intervalo
e pede a área da superfície obtida ao rotacionar essa curva em torno do eixo
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação da curva:
. - O intervalo para
: . - O eixo de rotação: eixo
.
A pergunta a responder é: qual é a área da superfície formada por essa rotação?
Passo 2
Qual fórmula usar e por quê — explicação didática.
Quando uma curva dada por para
é rotacionada em torno do eixo
, a área da superfície gerada é dada por
Quando uma curva dada por
Explicando a fórmula de forma simples:
-
é a distância do ponto da curva ao eixo (raio da circunferência gerada). -
é o fator que converte um pequeno incremento em numa pequena “extensão” ao longo da curva (é o comprimento diferencial da curva por unidade de ). - O produto
é o comprimento da circunferência gerada por rotação de um ponto, e multiplicando pelo pequeno comprimento da curva obtemos a área de uma “faixa” da superfície; integrar soma todas as faixas.
Agora aplicamos essa fórmula ao nosso caso come .
Passo 3
Calcular
e montar a integral.
Temos . Derivando em relação a
:
Temos
Logo
Substituindo na fórmula da área:
Passo 4
Simplificar a integral com uma substituição adequada.
Fazemos a substituição . Então
Fazemos a substituição
Quando
temos
. Quando
temos
. Substituindo na integral:
e
. Portanto
Passo 5
Calcular a integral
.
Para facilitar, faça a segunda substituição , então
e
. Os limites mudam:
,
. Assim
Para facilitar, faça a segunda substituição
Agora precisamos da primitiva de
. Um método prático (integração por partes) leva ao resultado padrão:
(Se quiser revisar: usar integração por partes com
,
dá essa expressão, e a integral de
é
.)
Passo 6
Avaliar a integral definida e simplificar.
Usando a primitiva no intervalo e lembrando do fator
e do
anterior:
Usando a primitiva no intervalo
Colocando os fatores em forma mais compacta:
Substituindo
e
:
Passo 7
Interpretação final e aproximação numérica (para conferir).
A expressão acima é a forma exata da área. Podemos também reescrever separando termos:
A expressão acima é a forma exata da área. Podemos também reescrever separando termos:
Fazendo uma avaliação numérica (apenas para referência), obtém-se aproximadamente