Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva dada ao redor do especificado em cada caso.
x=e^{2 y}, 0 \leq y \leq \frac{1}{2} ao redor do eixo y.

Passo 1

O enunciado dá a curva x=e^{2y} definida no intervalo 0 \le y \le \tfrac{1}{2} e pede a área da superfície obtida ao rotacionar essa curva em torno do eixo y.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação da curva: x(y)=e^{2y}.
  • O intervalo para y: y\in [0,\tfrac{1}{2}].
  • O eixo de rotação: eixo y.
    A pergunta a responder é: qual é a área da superfície formada por essa rotação?

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê — explicação didática.
Quando uma curva dada por x=x(y) para y\in[a,b] é rotacionada em torno do eixo y, a área da superfície gerada é dada por
S = 2\pi \int_{a}^{b} x(y)\,\sqrt{1+\bigl(x'(y)\bigr)^2}\;dy.
Explicando a fórmula de forma simples:
  • x(y) é a distância do ponto da curva ao eixo y (raio da circunferência gerada).
  • \sqrt{1+(x'(y))^2} é o fator que converte um pequeno incremento em y numa pequena “extensão” ao longo da curva (é o comprimento diferencial da curva por unidade de dy).
  • O produto 2\pi x(y) é o comprimento da circunferência gerada por rotação de um ponto, e multiplicando pelo pequeno comprimento da curva obtemos a área de uma “faixa” da superfície; integrar soma todas as faixas.
    Agora aplicamos essa fórmula ao nosso caso com a=0 e b=\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Calcular x'(y) e montar a integral.
Temos x(y)=e^{2y}. Derivando em relação a y:
x'(y)=\frac{dx}{dy}=2e^{2y}=2x(y).
Logo
1+\bigl(x'(y)\bigr)^2 = 1 + (2e^{2y})^2 = 1 + 4e^{4y}.
Substituindo na fórmula da área:
S = 2\pi \int_{0}^{1/2} e^{2y}\,\sqrt{1+4e^{4y}}\;dy.

Passo 4

Simplificar a integral com uma substituição adequada.
Fazemos a substituição \;u=e^{2y}\;. Então
\frac{du}{dy}=2e^{2y}=2u \quad\Rightarrow\quad dy=\frac{du}{2u}.
Quando y=0 temos u=1. Quando y=\tfrac{1}{2} temos u=e. Substituindo na integral:
e^{2y}\,dy = u\cdot\frac{du}{2u}=\frac{du}{2},
e 1+4e^{4y}=1+4u^{2}. Portanto
S = 2\pi \int_{1}^{e} \frac{1}{2}\sqrt{1+4u^{2}}\;du = \pi \int_{1}^{e} \sqrt{1+4u^{2}}\;du.

Passo 5

Calcular a integral \displaystyle \int \sqrt{1+4u^{2}}\;du.
Para facilitar, faça a segunda substituição \;w=2u\;, então dw=2du e du=\tfrac{dw}{2}. Os limites mudam: u=1\mapsto w=2, u=e\mapsto w=2e. Assim
\int_{1}^{e} \sqrt{1+4u^{2}}\;du = \frac{1}{2}\int_{2}^{2e}\sqrt{1+w^{2}}\;dw.
Agora precisamos da primitiva de \sqrt{1+w^{2}}. Um método prático (integração por partes) leva ao resultado padrão:
\int \sqrt{1+w^{2}}\;dw = \frac{w}{2}\sqrt{1+w^{2}} + \frac{1}{2}\ln\bigl(w+\sqrt{1+w^{2}}\bigr) + C.
(Se quiser revisar: usar integração por partes com u=\sqrt{1+w^2}, dv=dw dá essa expressão, e a integral de 1/\sqrt{1+w^2} é \operatorname{arsinh}(w)=\ln(w+\sqrt{1+w^2}).)

Passo 6

Avaliar a integral definida e simplificar.
Usando a primitiva no intervalo [2,2e] e lembrando do fator \pi e do \tfrac{1}{2} anterior:
S = \pi\cdot \frac{1}{2}\left[\frac{w}{2}\sqrt{1+w^{2}}+\frac{1}{2}\ln\bigl(w+\sqrt{1+w^{2}}\bigr)\right]_{w=2}^{w=2e}.
Colocando os fatores em forma mais compacta:
S = \frac{\pi}{4}\Biggl( w\sqrt{1+w^{2}} + \ln\bigl(w+\sqrt{1+w^{2}}\bigr)\Biggr)_{2}^{2e}.
Substituindo w=2e e w=2:
S = \frac{\pi}{4}\Bigl( 2e\sqrt{1+4e^{2}} + \ln\bigl(2e+\sqrt{1+4e^{2}}\bigr) - 2\sqrt{5} - \ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr)\Bigr).

Passo 7

Interpretação final e aproximação numérica (para conferir).
A expressão acima é a forma exata da área. Podemos também reescrever separando termos:
S = \frac{\pi}{2}\bigl(e\sqrt{1+4e^{2}}-\sqrt{5}\bigr) + \frac{\pi}{4}\ln\!\left(\frac{2e+\sqrt{1+4e^{2}}}{2+\sqrt{5}}\right).
Fazendo uma avaliação numérica (apenas para referência), obtém-se aproximadamente
S \approx 20,84.

Resposta

S = \frac{\pi}{4}\Bigl(2e\sqrt{1+4e^{2}} + \ln\bigl(2e+\sqrt{1+4e^{2}}\bigr) - 2\sqrt{5} - \ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr)\Bigr)
S \approx 20,84

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