Questão 5. Resolva os problemas a seguir: ache o comprimento de arco da curva x=e^{2 y}, 0 \leq y \leq \frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede: "ache o comprimento de arco da curva x=e^{2y}, 0 \leq y \leq \tfrac{1}{2}".
Informações fornecidas:
  • A curva está dada em forma explícita como x=f(y) com f(y)=e^{2y}.
  • O intervalo de variação da variável é y\in\left[0,\tfrac{1}{2}\right].
    O que se quer calcular é o comprimento de arco da curva entre os pontos correspondentes a y=0 e y=\tfrac{1}{2}.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicando do zero): para uma curva dada por x=f(y) e com y variando de a até b, o comprimento de arco L é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2}}\,dy.
Explicação do porquê: imagine um pequeno incremento dy. O pequeno segmento de arco correspondente tem comprimento aproximado \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}. Dividindo por dy e fazendo limite dá \sqrt{1+(dx/dy)^{2}}\,dy. Aqui dx/dy é a taxa de variação horizontal por unidade vertical; o integrando combina essa variação com a componente vertical para obter o comprimento real do segmento.

Passo 3

Calcular a derivada necessária: x=e^{2y} implica
\frac{dx}{dy}=2e^{2y}.
Expliquei passo a passo: use a regra da cadeia. Derivada de e^{2y} em relação a y é e^{2y} multiplicado pela derivada de 2y, que é 2.

Passo 4

Montar a integral do comprimento usando a fórmula do passo 2:
L=\int_{0}^{1/2}\sqrt{1+\bigl(2e^{2y}\bigr)^{2}}\,dy =\int_{0}^{1/2}\sqrt{1+4e^{4y}}\,dy.
Este é o integral que precisamos calcular. Agora vamos transformá-lo para uma forma integrável sem pular etapas.

Passo 5

Substituição simples para simplificar a aparência: defina u=e^{2y}. Então
du=2e^{2y}\,dy=2u\,dy \quad\Rightarrow\quad dy=\frac{du}{2u}.
Mudar os limites: quando y=0 temos u=e^{0}=1; quando y=\tfrac{1}{2} temos u=e^{2\cdot(1/2)}=e^{1}=e. Substituindo na integral,
L=\int_{u=1}^{u=e}\sqrt{1+4u^{2}}\cdot\frac{du}{2u} =\frac{1}{2}\int_{1}^{e}\frac{\sqrt{1+4u^{2}}}{u}\,du.
Agora a integral tem a forma \int \frac{\sqrt{1+4u^{2}}}{u}\,du. Para essa forma uma boa estratégia é usar uma substituição hiperbólica que transforma \sqrt{1+4u^{2}} em uma função hiperbólica simples.

Passo 6

Fazer substituição hiperbólica adequada: note que se definirmos 2u=\operatorname{sinh} t então
u=\tfrac{1}{2}\operatorname{sinh} t,\qquad du=\tfrac{1}{2}\operatorname{cosh} t\,dt,
e
\sqrt{1+4u^{2}}=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}t}=\operatorname{cosh} t,
pois \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1. Substituindo esses na integral:
\frac{\sqrt{1+4u^{2}}}{u}\,du = \frac{\operatorname{cosh} t}{\tfrac{1}{2}\operatorname{sinh} t}\cdot \tfrac{1}{2}\operatorname{cosh} t\,dt = \frac{\operatorname{cosh}^{2}t}{\operatorname{sinh} t}\,dt.
Portanto
L=\frac{1}{2}\int_{t_1}^{t_2}\frac{\operatorname{cosh}^{2}t}{\operatorname{sinh} t}\,dt,
onde t_1 e t_2 são os valores de t correspondentes a u=1 e u=e. Como 2u=\operatorname{sinh} t, temos
t_1=\operatorname{arsinh}(2)\quad\text{(pois para }u=1\text{: }2\cdot1=2=\operatorname{sinh} t_1),
t_2=\operatorname{arsinh}(2e)\quad\text{(pois para }u=e\text{: }2e=\operatorname{sinh} t_2).

Passo 7

Simplificar o integrando antes de integrar: usar \operatorname{cosh}^{2}t=1+\operatorname{sinh}^{2}t. Então
\frac{\operatorname{cosh}^{2}t}{\operatorname{sinh} t}=\frac{1+\operatorname{sinh}^{2}t}{\operatorname{sinh} t}=\operatorname{sinh} t+\frac{1}{\operatorname{sinh} t}.
Assim a integral fica elementar:
L=\frac{1}{2}\int_{t_1}^{t_2}\left(\operatorname{sinh} t+\csch t\right)\,dt =\frac{1}{2}\left[\operatorname{cosh} t+\ln\!\bigl(\operatorname{tanh}(\tfrac{t}{2})\bigr)\right]_{t_1}^{t_2}.
Aqui usei duas antiderivadas padrão:
  • \int \operatorname{sinh} t\,dt=\operatorname{cosh} t.
  • \int \csch t\,dt=\ln\!\bigl(\operatorname{tanh}(\tfrac{t}{2})\bigr)+C. Uma forma de ver rapidamente: \csch t=1/\operatorname{sinh} t e uma substituição direta leva à primitiva em termos de \operatorname{tanh}(t/2).

Passo 8

Voltar a escrever em termos de u (para poder avaliar nos limites em u que já conhecemos). Lembre que \operatorname{cosh} t=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}t}=\sqrt{1+(2u)^{2}}=\sqrt{1+4u^{2}} e
\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)=\frac{\operatorname{sinh} t}{1+\operatorname{cosh} t}=\frac{2u}{1+\sqrt{1+4u^{2}}}.
Portanto a primitiva em termos de u corresponde a
\frac{1}{2}\Bigl(\sqrt{1+4u^{2}}+\ln\!\bigl(\tfrac{2u}{1+\sqrt{1+4u^{2}}}\bigr)\Bigr)+C.
Agora avaliamos entre u=1 e u=e:
L=\frac{1}{2}\Biggl[\sqrt{1+4e^{2}}+\ln\!\Bigl(\frac{2e}{1+\sqrt{1+4e^{2}}}\Bigr) -\biggl(\sqrt{1+4\cdot1^{2}}+\ln\!\Bigl(\frac{2\cdot1}{1+\sqrt{1+4\cdot1^{2}}}\Bigr)\biggr)\Biggr].

Passo 9

Simplificar a expressão final um pouco para ficar mais apresentável. Note que \sqrt{1+4\cdot1^{2}}=\sqrt{5}. Também ao subtrair os logaritmos pode-se juntar em um único logaritmo:
L=\frac{1}{2}\Bigl(\sqrt{1+4e^{2}}-\sqrt{5}\Bigr) +\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{\dfrac{2e}{1+\sqrt{1+4e^{2}}}}{\dfrac{2}{1+\sqrt{5}}}\right).
Os fatores 2 cancelam dentro do logaritmo, ficando
L=\frac{1}{2}\Bigl(\sqrt{1+4e^{2}}-\sqrt{5}\Bigr) +\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{e\bigl(1+\sqrt{5}\bigr)}{1+\sqrt{1+4e^{2}}}\right).
Esta é uma forma explícita e final para o comprimento de arco.

Resposta

L=\frac{1}{2}\Bigl(\sqrt{1+4e^{2}}-\sqrt{5}\Bigr) +\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{e\bigl(1+\sqrt{5}\bigr)}{1+\sqrt{1+4e^{2}}}\right)

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