Questão 5. Resolva os problemas a seguir: ache o comprimento de arco da curva x=e^{2 y}, 0 \leq y \leq \frac{1}{2}
Passo 1
O enunciado pede: "ache o comprimento de arco da curva x=e^{2y}, 0 \leq y \leq \tfrac{1}{2}".
Informações fornecidas:
A curva está dada em forma explícita como x=f(y) com f(y)=e^{2y}.
O intervalo de variação da variável é y\in\left[0,\tfrac{1}{2}\right].
O que se quer calcular é o comprimento de arco da curva entre os pontos correspondentes a y=0 e y=\tfrac{1}{2}.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicando do zero): para uma curva dada por x=f(y) e com y variando de a até b, o comprimento de arco L é dado por
Explicação do porquê: imagine um pequeno incremento dy. O pequeno segmento de arco correspondente tem comprimento aproximado \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}. Dividindo por dy e fazendo limite dá \sqrt{1+(dx/dy)^{2}}\,dy. Aqui dx/dy é a taxa de variação horizontal por unidade vertical; o integrando combina essa variação com a componente vertical para obter o comprimento real do segmento.
Passo 3
Calcular a derivada necessária: x=e^{2y} implica
\frac{dx}{dy}=2e^{2y}.
Expliquei passo a passo: use a regra da cadeia. Derivada de e^{2y} em relação a y é e^{2y} multiplicado pela derivada de 2y, que é 2.
Passo 4
Montar a integral do comprimento usando a fórmula do passo 2:
Agora a integral tem a forma \int \frac{\sqrt{1+4u^{2}}}{u}\,du. Para essa forma uma boa estratégia é usar uma substituição hiperbólica que transforma \sqrt{1+4u^{2}} em uma função hiperbólica simples.
Passo 6
Fazer substituição hiperbólica adequada: note que se definirmos 2u=\operatorname{sinh} t então
\int \operatorname{sinh} t\,dt=\operatorname{cosh} t.
\int \csch t\,dt=\ln\!\bigl(\operatorname{tanh}(\tfrac{t}{2})\bigr)+C. Uma forma de ver rapidamente: \csch t=1/\operatorname{sinh} t e uma substituição direta leva à primitiva em termos de \operatorname{tanh}(t/2).
Passo 8
Voltar a escrever em termos de u (para poder avaliar nos limites em u que já conhecemos). Lembre que \operatorname{cosh} t=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}t}=\sqrt{1+(2u)^{2}}=\sqrt{1+4u^{2}} e
Simplificar a expressão final um pouco para ficar mais apresentável. Note que \sqrt{1+4\cdot1^{2}}=\sqrt{5}. Também ao subtrair os logaritmos pode-se juntar em um único logaritmo: