Nos exercícios a seguir, efetue a antidiferenciação
\int \frac{\left(x^{2}-2 x\right) d x}{\sqrt{x^{3}+3 x^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada
\int \frac{\left(x^{2}-2 x\right)\,dx}{\sqrt{x^{3}+3 x^{2}+1}}.
As informações dadas são:
  • A função sob a raiz é o polinômio \,x^{3}+3x^{2}+1.
  • O numerador é o polinômio \,x^{2}-2x.
  • O que se pede é encontrar uma primitiva (antiderivada) explícita da função \dfrac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{3}+3x^{2}+1}}.
    Não há figuras nem outros dados.

Passo 2

Vou tentar identificar substituições óbvias. Uma ideia natural: tomar como substituição a expressão dentro da raiz,
u=x^{3}+3x^{2}+1.
Isso costuma ser útil quando o numerador é (proporcional a) a derivada de u. Vamos calcular du:
du = (3x^{2}+6x)\,dx = 3(x^{2}+2x)\,dx.
Observe o numerador do integrando: \,x^{2}-2x. Vou relacioná-lo com u'. Escrevo:
x^{2}-2x = (x^{2}+2x) -4x = \frac{1}{3}u' -4x,
porque \dfrac{1}{3}u' = x^{2}+2x.
Substituir essa decomposição vai permitir separar a integral em uma parte imediata e uma parte residual que precisa ser tratada.

Passo 3

Usando \,x^{2}-2x = \dfrac{1}{3}u' -4x na integral, temos
\int \frac{x^{2}-2x}{\sqrt{u}}\,dx = \int \frac{\tfrac{1}{3}u' -4x}{\sqrt{u}}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{u'}{\sqrt{u}}\,dx -4\int \frac{x}{\sqrt{u}}\,dx.
A primeira integral é imediata: para u>0,
\int \frac{u'}{\sqrt{u}}\,dx = \int \frac{du}{\sqrt{u}} = 2\sqrt{u}.
Portanto a primeira parte dá
\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{u}=\frac{2}{3}\sqrt{u}=\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}+3x^{2}+1}.
Logo a integral original fica reduzida a
\int \frac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{3}+3x^{2}+1}}\,dx = \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}+3x^{2}+1} -4\int \frac{x}{\sqrt{x^{3}+3x^{2}+1}}\,dx.
Portanto o problema principal agora é avaliar
J=\int \frac{x}{\sqrt{x^{3}+3x^{2}+1}}\,dx.

Passo 4

Vamos analisar J. Usando u=x^{3}+3x^{2}+1 novamente, temos du = 3x(x+2)\,dx. Isso permite escrever dx em termos de du mas envolve ainda x e x+2. Em particular,
dx=\frac{du}{3x(x+2)}.
Substituindo em J,
J=\int \frac{x}{\sqrt{u}}\cdot \frac{du}{3x(x+2)} = \frac{1}{3}\int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot \frac{du}{x+2}.
Nessa forma aparece \dfrac{1}{x+2} que é função de x, não de u. Para transformar integral totalmente em u seria preciso escrever x (ou x+2) como função de u, isto é, resolver a cúbica u=x^{3}+3x^{2}+1 para x — o que leva a expressões algébricas complicadas. Isso indica que a substituição u=x^{3}+3x^{2}+1 não reduz a integral restante a uma integral elementar simples.

Passo 5

Quando, após as manipulações lineares com u, sobra uma integral do tipo
\int \frac{\text{polinômio}(x)}{\sqrt{\text{cúbica}(x)}}\,dx,ôú
é preciso verificar se essa integral é elementar. Em geral, integrais da forma \int R(x,\sqrt{P(x)})\,dx com P polinomial de grau 3 ou 4 e R racional podem levar a integrais elípticas — ou seja, não podem ser expressas por uma combinação finita de funções elementares (polinômios, exponenciais, logaritmos, arctangentes etc.), salvo em casos especiais (quando P tem raízes múltiplas ou quando o numerador é exatamente a derivada apropriada que elimina a parte difícil).
No nosso caso já tentamos ajustar o numerador como múltiplo de u' e sobrou a integral J, e também tentamos procurar uma primitiva do tipo polinômio vezes \sqrt{u} sem sucesso (verificações algébricas dão contradições). Esses indícios apontam que não existe uma primitiva elementar simples: a integral remanescente é, em geral, uma integral elíptica.

Passo 6

Uma via clássica para estudar essas integrais é fazer uma mudança que transforme a cúbica em uma forma canônica tratável por funções elípticas. Por exemplo, com y=x+1 temos a cúbica deslocada
x^{3}+3x^{2}+1 = y^{3}-3y+3,
e, em seguida, a substituição trigonométrica y=2\cos\theta transforma y^{3}-3y em 2\cos 3\theta (identidade de Chebyshev), o que conduz a expressões envolvendo \cos 3\theta e, ao final, a integrais do tipo \int d\theta/\sqrt{a+b\cos 3\theta} — que são equivalentes a integrais elípticas. Passos do tipo
y=2\cos\theta,\qquad dy=-2\sin\theta\,d\theta,
levam a reduzir J a integrais que se expressam em termos de integrais elípticas incompletas (funções padrão F(\varphi,k), E(\varphi,k), etc.).
Não é produtivo aqui desenvolver todo o cálculo transformando explicitamente em formas elípticas (essa dedução é longa e técnica), mas é importante entender: a antiderivada pode ser escrita em termos de integrais elípticas incompletas.

Passo 7

Resumo do que já se obteve e da natureza da primitiva:
  • A integral pode ser reduzida pela decomposição inicial a uma parte imediata mais uma integral restante:
\int \frac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{3}+3x^{2}+1}}\,dx = \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}+3x^{2}+1} -4\int \frac{x}{\sqrt{x^{3}+3x^{2}+1}}\,dx.
  • A integral remanescente \displaystyle \int \dfrac{x}{\sqrt{x^{3}+3x^{2}+1}}\,dx não se reduz, por substituições elementares simples, a uma combinação de funções elementares. Após uma mudança de variável adequada (por exemplo x+1=2\cos\theta) ela fica equivalente a uma integral elíptica.
  • Portanto a primitiva geral da função dada é uma expressão que envolve uma combinação de \sqrt{x^{3}+3x^{2}+1} e integrais elípticas incompletas (funções elípticas padrão). Essas funções elípticas são funções bem estudadas e tabeladas; se for necessário um valor numérico ou uma forma explícita, emprega-se uma tabela de integrais elípticas ou um sistema algebraico/simbólico (por exemplo um CAS) para escrever a primitiva na forma padrão.

Passo 8

Interpretação prática para uma prova de cálculo elementar:
  • Se o enunciado esperava uma primitiva em termos de funções elementares, então haveria um truque adicional que torna a integral elementar (por exemplo o polinômio do denominador teria raiz múltipla, ou o numerador seria exatamente proporção de u'). Aqui isso não ocorre: a tentativa direta mostrou sobra de uma integral que mistura u e x de forma que leva a uma cúbica irreduzível, típico indicativo de integral elíptica.
  • Se a prova permitir respostas em termos de funções especiais, a resposta correta é: a antiderivada é uma combinação de \sqrt{x^{3}+3x^{2}+1} e de integrais elípticas incompletas (após a mudança x+1=2\cos\theta obtém-se uma forma padrão).

Resposta

A primitiva não pode ser expressa por combinações finitas de funções elementares; escrevendo u=x^{3}+3x^{2}+1 obtém-se
\int \frac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{3}+3x^{2}+1}}\,dx = \frac{2}{3}\sqrt{u}\;-\;4\int \frac{x}{\sqrt{u}}\,dx,
onde a integral remanescente é uma integral elíptica e a antiderivada completa é dada por uma combinação de \dfrac{2}{3}\sqrt{x^{3}+3x^{2}+1} e de integrais elípticas incompletas (funções elípticas padrão).

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