Nos exercícios a seguir, efetue a antidiferenciação
Passo 1
O enunciado pede para calcular a antiderivada
As informações dadas são:
- A função sob a raiz é o polinômio
. - O numerador é o polinômio
. - O que se pede é encontrar uma primitiva (antiderivada) explícita da função
.
Não há figuras nem outros dados.
Passo 2
Vou tentar identificar substituições óbvias. Uma ideia natural: tomar como substituição a expressão dentro da raiz,
Isso costuma ser útil quando o numerador é (proporcional a) a derivada de
. Vamos calcular
:
Observe o numerador do integrando:
. Vou relacioná-lo com
. Escrevo:
porque
.
Substituir essa decomposição vai permitir separar a integral em uma parte imediata e uma parte residual que precisa ser tratada.
Passo 3
Usando
na integral, temos
A primeira integral é imediata: para
,
Portanto a primeira parte dá
Logo a integral original fica reduzida a
Portanto o problema principal agora é avaliar
Passo 4
Vamos analisar
. Usando
novamente, temos
. Isso permite escrever
em termos de
mas envolve ainda
e
. Em particular,
Substituindo em
,
Nessa forma aparece
que é função de
, não de
. Para transformar integral totalmente em
seria preciso escrever
(ou
) como função de
, isto é, resolver a cúbica
para
— o que leva a expressões algébricas complicadas. Isso indica que a substituição
não reduz a integral restante a uma integral elementar simples.
Passo 5
Quando, após as manipulações lineares com
, sobra uma integral do tipo
é preciso verificar se essa integral é elementar. Em geral, integrais da forma
com
polinomial de grau 3 ou 4 e
racional podem levar a integrais elípticas — ou seja, não podem ser expressas por uma combinação finita de funções elementares (polinômios, exponenciais, logaritmos, arctangentes etc.), salvo em casos especiais (quando
tem raízes múltiplas ou quando o numerador é exatamente a derivada apropriada que elimina a parte difícil).
No nosso caso já tentamos ajustar o numerador como múltiplo de
e sobrou a integral
, e também tentamos procurar uma primitiva do tipo polinômio vezes
sem sucesso (verificações algébricas dão contradições). Esses indícios apontam que não existe uma primitiva elementar simples: a integral remanescente é, em geral, uma integral elíptica.
Passo 6
Uma via clássica para estudar essas integrais é fazer uma mudança que transforme a cúbica em uma forma canônica tratável por funções elípticas. Por exemplo, com
temos a cúbica deslocada
e, em seguida, a substituição trigonométrica
transforma
em
(identidade de Chebyshev), o que conduz a expressões envolvendo
e, ao final, a integrais do tipo
— que são equivalentes a integrais elípticas. Passos do tipo
levam a reduzir
a integrais que se expressam em termos de integrais elípticas incompletas (funções padrão
,
, etc.).
Não é produtivo aqui desenvolver todo o cálculo transformando explicitamente em formas elípticas (essa dedução é longa e técnica), mas é importante entender: a antiderivada pode ser escrita em termos de integrais elípticas incompletas.
Passo 7
Resumo do que já se obteve e da natureza da primitiva:
- A integral pode ser reduzida pela decomposição inicial a uma parte imediata mais uma integral restante:
-
A integral remanescente
não se reduz, por substituições elementares simples, a uma combinação de funções elementares. Após uma mudança de variável adequada (por exemplo ) ela fica equivalente a uma integral elíptica. -
Portanto a primitiva geral da função dada é uma expressão que envolve uma combinação de
e integrais elípticas incompletas (funções elípticas padrão). Essas funções elípticas são funções bem estudadas e tabeladas; se for necessário um valor numérico ou uma forma explícita, emprega-se uma tabela de integrais elípticas ou um sistema algebraico/simbólico (por exemplo um CAS) para escrever a primitiva na forma padrão.
Passo 8
Interpretação prática para uma prova de cálculo elementar:
- Se o enunciado esperava uma primitiva em termos de funções elementares, então haveria um truque adicional que torna a integral elementar (por exemplo o polinômio do denominador teria raiz múltipla, ou o numerador seria exatamente proporção de
). Aqui isso não ocorre: a tentativa direta mostrou sobra de uma integral que mistura e de forma que leva a uma cúbica irreduzível, típico indicativo de integral elíptica. - Se a prova permitir respostas em termos de funções especiais, a resposta correta é: a antiderivada é uma combinação de
e de integrais elípticas incompletas (após a mudança obtém-se uma forma padrão).
Resposta
A primitiva não pode ser expressa por combinações finitas de funções elementares; escrevendo
obtém-se
onde a integral remanescente é uma integral elíptica e a antiderivada completa é dada por uma combinação de
e de integrais elípticas incompletas (funções elípticas padrão).