3-a) Enuncie o Teorema do Sanduiche (Teorema do Confronto).
b) Seja f uma função definida em
tal que para todo
,
. Calcule
. Justifique sua resposta.
b) Seja f uma função definida em
Passo 1
O enunciado tem duas partes; vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
- Parte (a): pede que eu enuncie o Teorema do Sanduíche (Teorema do Confronto).
- Parte (b): é dado que, para todo
,
e pede que eu calcule
e justifique a resposta.
Informações relevantes do enunciado:
- A desigualdade entre funções vale para todo
(ou seja, em uma vizinhança de com o ponto possivelmente excluído). - Não foi dito se
está definida; para cálculo de limite isso não é necessário.
Passo 2
Enunciado do Teorema do Sanduíche (Teorema do Confronto).
Enunciado (resumido e formal): sejam três funções
definidas em um conjunto sendo vizinhança de
exceto possivelmente em
próprio. Se existe uma vizinhança de
tal que, para todo
nessa vizinhança com
,
e se
então
Breve explicação didática e intuição: a ideia é que
fica “apertada” entre
e
. Se ambas as extremidades tendem para o mesmo número
, então
, estando sempre entre elas quando
está suficientemente perto de
, não tem para onde ir a não ser também tender para
. Formalmente, para qualquer tolerância
escolhem-se vizinhanças em que
e
estão a menos de
de
; como
está entre
e
, também fica a menos de
de
.
Passo 3
Vou simplificar a expressão do limite do lado esquerdo da desigualdade dada, aproveitando que a desigualdade vale para
.
Observe o numerador da fração:
Fatorando esse polinômio:
Como a desigualdade é válida para
, posso cancelar o fator
no numerador e denominador. Logo, para
,
Portanto a desigualdade dada se torna, para
,
Explicação do porquê do cancelamento: cancelar
só é válido quando
, isto é exatamente o caso porque a hipótese original exclui
.
Passo 4
Calculo o limite da função inferior
quando
.
Funções polinomiais são contínuas, então o limite é obtido por substituição:
Expliquei: “contínuas” significa que o valor da função no ponto (se definido) é igual ao limite; no caso de polinômios não há problema algum em substituir.
Passo 5
Calculo o limite da função superior
quando
.
Também é um polinômio (ou função polinomial), logo contínuo; substituindo:
Passo 6
Aplicação do Teorema do Sanduíche.
Já tenho, para
suficientemente próximo de
(com
),
e calculei que
Pelo Teorema do Sanduíche, como as funções que delimitam
têm o mesmo limite
em
, conclui-se que
Comentário final curto e motivador: mesmo sem saber o valor de
, a desigualdade e a continuidade das funções que limitam nos dão o limite exato; é uma aplicação clássica e muito útil do Teorema do Sanduíche.
Resposta
(a) Sejam
funções definidas numa vizinhança de
(exceto talvez em
) e tal que, para todo
próximo de
com
,
Se
, então
.
(b)