3-a) Enuncie o Teorema do Sanduiche (Teorema do Confronto).
b) Seja f uma função definida em \mathbb{R} tal que para todo x \neq-2, \frac{x^{2}+8 x+12}{x+2} \leq f(x) \leq-2 x^{2}+12. Calcule \lim _{x \rightarrow-2} f(x). Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado tem duas partes; vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
  • Parte (a): pede que eu enuncie o Teorema do Sanduíche (Teorema do Confronto).
  • Parte (b): é dado que, para todo x\neq -2,
\frac{x^{2}+8x+12}{x+2}\le f(x)\le -2x^{2}+12,
e pede que eu calcule \displaystyle\lim_{x\to -2} f(x) e justifique a resposta.
Informações relevantes do enunciado:
  • A desigualdade entre funções vale para todo x\neq -2 (ou seja, em uma vizinhança de -2 com o ponto -2 possivelmente excluído).
  • Não foi dito se f(-2) está definida; para cálculo de limite isso não é necessário.

Passo 2

Enunciado do Teorema do Sanduíche (Teorema do Confronto).
Enunciado (resumido e formal): sejam três funções g,f,h definidas em um conjunto sendo vizinhança de a exceto possivelmente em a próprio. Se existe uma vizinhança de a tal que, para todo x nessa vizinhança com x\neq a,
g(x)\le f(x)\le h(x),
e se
\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,
então
\lim_{x\to a} f(x)=L.
Breve explicação didática e intuição: a ideia é que f(x) fica “apertada” entre g(x) e h(x). Se ambas as extremidades tendem para o mesmo número L, então f(x), estando sempre entre elas quando x está suficientemente perto de a, não tem para onde ir a não ser também tender para L. Formalmente, para qualquer tolerância \varepsilon>0 escolhem-se vizinhanças em que g e h estão a menos de \varepsilon de L; como f está entre g e h, também fica a menos de \varepsilon de L.

Passo 3

Vou simplificar a expressão do limite do lado esquerdo da desigualdade dada, aproveitando que a desigualdade vale para x\neq -2.
Observe o numerador da fração:
x^{2}+8x+12.
Fatorando esse polinômio:
x^{2}+8x+12=(x+2)(x+6).
Como a desigualdade é válida para x\neq -2, posso cancelar o fator x+2 no numerador e denominador. Logo, para x\neq -2,
\frac{x^{2}+8x+12}{x+2}=x+6.
Portanto a desigualdade dada se torna, para x\neq -2,
x+6 \le f(x) \le -2x^{2}+12.
Explicação do porquê do cancelamento: cancelar x+2 só é válido quando x+2\neq 0, isto é exatamente o caso porque a hipótese original exclui x=-2.

Passo 4

Calculo o limite da função inferior x+6 quando x\to -2.
Funções polinomiais são contínuas, então o limite é obtido por substituição:
\lim_{x\to -2} (x+6)=(-2)+6=4.
Expliquei: “contínuas” significa que o valor da função no ponto (se definido) é igual ao limite; no caso de polinômios não há problema algum em substituir.

Passo 5

Calculo o limite da função superior -2x^{2}+12 quando x\to -2.
Também é um polinômio (ou função polinomial), logo contínuo; substituindo:
\lim_{x\to -2} (-2x^{2}+12) = -2\cdot(-2)^{2}+12 = -2\cdot 4 +12 = -8+12 = 4.

Passo 6

Aplicação do Teorema do Sanduíche.
Já tenho, para x suficientemente próximo de -2 (com x\neq -2),
x+6 \le f(x) \le -2x^{2}+12,
e calculei que
\lim_{x\to -2} (x+6)=4,\qquad \lim_{x\to -2} (-2x^{2}+12)=4.
Pelo Teorema do Sanduíche, como as funções que delimitam f têm o mesmo limite 4 em x\to -2, conclui-se que
\lim_{x\to -2} f(x)=4.
Comentário final curto e motivador: mesmo sem saber o valor de f(-2), a desigualdade e a continuidade das funções que limitam nos dão o limite exato; é uma aplicação clássica e muito útil do Teorema do Sanduíche.

Resposta

(a) Sejam g,f,h funções definidas numa vizinhança de a (exceto talvez em a) e tal que, para todo x próximo de a com x\neq a,
g(x)\le f(x)\le h(x).
Se \displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L, então \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=L.
(b) \displaystyle\lim_{x\to -2} f(x)=4

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