Considere a função g: R R definida por: g(x)=integral2^x e^t^2 d t Prove que g tem precisamente um zero.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função g: ℝ→ℝ dada por g(x)=integral2^xe^t^2,dt tem exatamente um zero. O conteúdo principal aqui envolve integrais definidas e uso do Teorema Fundamental do Cálculo para relacionar derivada e sinal da função.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, g é diferenciável e sua derivada é justamente o integrando avaliado em x. Assim, temos
g'(x)=e^x^2
Como e^x^2>0 para todo x, g é estritamente crescente em ℝ.

Passo 3

Calculamos o valor de g no ponto 2: como os limites de integração coincidem,
g(2)=integral2^2e^t^2,dt=0
Além disso, se x>2, então
g(x)=integral2^xe^t^2,dt>0,
e se x<2, escrevendo integral2^x=-integralx^2, temos
g(x)=-integralx^2e^t^2,dt<0

Passo 4

Como g é estritamente crescente, ela cruza o eixo y (valor zero) no máximo uma vez. Já vimos que g(2)=0 e que em x<2 g(x)<0, em x>2 g(x)>0. Logo não há outro ponto em que g(x)=0.

Passo 5

Portanto, concluímos que o único zero de g é x=2.

Resposta

x=2 é a única raiz de g.

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