Considere a função
definida por:
Prove que
tem precisamente um zero.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função g: ℝ→ℝ dada por
tem exatamente um zero. O conteúdo principal aqui envolve integrais definidas e uso do Teorema Fundamental do Cálculo para relacionar derivada e sinal da função.
Passo 2
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, g é diferenciável e sua derivada é justamente o integrando avaliado em x. Assim, temos
Como
para todo x, g é estritamente crescente em ℝ.
Passo 3
Calculamos o valor de g no ponto 2: como os limites de integração coincidem,
Além disso, se x>2, então
e se x<2, escrevendo
, temos
Passo 4
Como g é estritamente crescente, ela cruza o eixo y (valor zero) no máximo uma vez. Já vimos que g(2)=0 e que em x<2 g(x)<0, em x>2 g(x)>0. Logo não há outro ponto em que g(x)=0.
Passo 5
Portanto, concluímos que o único zero de g é x=2.
Resposta
x=2 é a única raiz de g.