Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva indicada, em torno do eixo dos :
Passo 1
A curva dada é y² = 4x + 4 para 0 ≤ x ≤ 8, e queremos a área da superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo x. Este é um problema de área de superfície de revolução, que usa a fórmula S = 2π ∫ y √(1 + (dy/dx)²) dx.
Passo 2
Começamos isolando y em função de x. Como y² = 4x + 4, escolhemos o ramo positivo (y ≥ 0) para gerar a superfície:
Passo 3
Agora calculamos a derivada dy/dx. Usando regra da cadeia em y = (4x+4)^{1/2}, temos
Passo 4
Em seguida montamos o fator √(1 + (dy/dx)²):
portanto
Passo 5
Substituindo tudo na fórmula da área de superfície
ficamos com
Passo 6
Para integrar ∫₀⁸ √(x+2) dx, fazemos a mudança u = x+2, que leva x=0→u=2 e x=8→u=10. Então