Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva indicada, em torno do eixo dos x x: y^2=4 x+4, 0 <= x <= 8

Passo 1

A curva dada é y² = 4x + 4 para 0 ≤ x ≤ 8, e queremos a área da superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo x. Este é um problema de área de superfície de revolução, que usa a fórmula S = 2π ∫ y √(1 + (dy/dx)²) dx.

Passo 2

Começamos isolando y em função de x. Como y² = 4x + 4, escolhemos o ramo positivo (y ≥ 0) para gerar a superfície:
y = raiz4x + 4 = 2raizx + 1

Passo 3

Agora calculamos a derivada dy/dx. Usando regra da cadeia em y = (4x+4)^{1/2}, temos
dydx = 12(4x+4)^-1/2 cdot 4 = 2raiz4x+4 = 22raizx+1 = 1raizx+1

Passo 4

Em seguida montamos o fator √(1 + (dy/dx)²):
1 + l(dydxr)^2 = 1 + 1x+1 = x+1 + 1x+1 = x+2x+1,
portanto
raiz1 + (y')^2 = raizx+2x+1

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da área de superfície
S = 2pi integral0^8 y ,raiz1 + (y')^2,dx
ficamos com
S = 2pi integral0^8 l(2raizx+1r) cdot raizx+2x+1 ,dx = 2pi integral0^8 2raizx+2,dx = 4pi integral0^8 raizx+2,dx

Passo 6

Para integrar ∫₀⁸ √(x+2) dx, fazemos a mudança u = x+2, que leva x=0→u=2 e x=8→u=10. Então
integral0^8 raizx+2,dx = integral2^10 u^1/2,du = 23u^3/2|2^10 = 23l(10^3/2 - 2^3/2r) = 23(10raiz10 - 2raiz2)

Passo 7

Multiplicando pelo fator 4π, obtemos
S = 4pi cdot 23(10raiz10 - 2raiz2) = 8pi3l(10raiz10 - 2raiz2r) = 16pi3l(5raiz10 - raiz2r)

Resposta

A área da superfície de revolução é 16pi3l(5raiz10 - raiz2r).

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