Calcule o comprimento
da curva dada.
(a)
©
(d)
(b)
(e)
(a)
©
(d)
(b)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento de arco de várias curvas no intervalo dado. O conteúdo aqui é comprimento de curva em coordenadas cartesianas, usando a fórmula
(ou, quando parametrizada por
,
).
Passo 2
Para a curva (a)
. Calculamos
$$
y’=\frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac13(x2+2){3/2}\Bigr]=(x2+2){1/2}x\frac{1}{(x2+2){1/2}}=x\sqrt{x2+2}/(x2+2)^{1/2}
1+(y’)2=1+\frac{x2}{x2+2}=\frac{x2+2+x2}{x2+2}=\frac{2x2+2}{x2+2}=2
l=\int_01\sqrt{x2+2},dx
\Bigl[\tfrac{x}{2}\sqrt{x2+2}+\ln\bigl(x+\sqrt{x2+2}\bigr)\Bigr]_0^1
=\frac{\sqrt3}{2}+\ln(1+\sqrt3)-\ln(\sqrt2)
=\frac{\sqrt3}{2}+\ln(1+\sqrt3)-\ln(\sqrt2)
$$.
Passo 3
Para (b)
. Temos
então
e
O comprimento é
Passo 4
Para ©
. Então
logo
e
Fica
Passo 5
Para (d) temos
, isto é
. Usando
,
logo
então
avaliamos a primitiva de
e obtemos
Passo 6
Para (e)
implica
. Então
logo
e