Calcule o comprimento l da curva dada.
(a) y=13(x^2+2)^3 / 2, 0 <= x <= 1
© y=ln (sec x), 0 <= x <= pi / 4
(d) y^2=4 x, 0 <= y <= 2
(b) y=x^22-ln x4, 2 <= x <= 4
(e) y=integral1^x raizt^3-1 d t, 1 <= x <= 4

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de arco de várias curvas no intervalo dado. O conteúdo aqui é comprimento de curva em coordenadas cartesianas, usando a fórmula l=integrala^braiz1+(y')^2,dx (ou, quando parametrizada por y, l=integralc^draiz1+(x')^2,dy).

Passo 2

Para a curva (a) y=tfrac13(x^2+2)^3/2. Calculamos
$$
y’=\frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac13(x2+2){3/2}\Bigr]=(x2+2){1/2}x\frac{1}{(x2+2){1/2}}=x\sqrt{x2+2}/(x2+2)^{1/2} y'=ddxl[tfrac13(x^2+2)^3/2r]=(x^2+2)^1/2x1(x^2+2)^1/2=xraizx^2+2/(x^2+2)^1/2áã
1+(y’)2=1+\frac{x2}{x2+2}=\frac{x2+2+x2}{x2+2}=\frac{2x2+2}{x2+2}=2 y'=xraizx^2+2/(x^2+2)^1/2=x/raizx^2+2
l=\int_01\sqrt{x2+2},dx
1+(y')^2=1+x^2x^2+2=x^2+2+x^2x^2+2=2x^2+2x^2+2=2
\Bigl[\tfrac{x}{2}\sqrt{x2+2}+\ln\bigl(x+\sqrt{x2+2}\bigr)\Bigr]_0^1
=\frac{\sqrt3}{2}+\ln(1+\sqrt3)-\ln(\sqrt2)
$$.

Passo 3

Para (b) y=tfracx^22-tfracln x4. Temos
y'=x-tfrac14x,
então
1+(y')^2=1+l(x-tfrac14xr)^2=(4x^2+1)^216x^2
e
raiz1+(y')^2=4x^2+14x
O comprimento é
l=integral2^44x^2+14x,dx=14integral2^4(4x+tfrac1x)dx =l[tfracx^22+tfracln x4r]2^4=6+tfrac14ln2

Passo 4

Para © y=ln(sec x). Então
y'=tan x,
logo 1+(y')^2=sec^2x e
raiz1+(y')^2=sec x
Fica
l=integral0^pi/4sec x,dx=l[ln|sec x+tan x|r]0^pi/4=ln(raiz2+1)

Passo 5

Para (d) temos y^2=4x, isto é x=tfracy^24. Usando l=integralraiz1+(dx/dy)^2,dy,
dxdy=y2, 1+l(tfracy2r)^2=y^2+44,
logo
raiz1+(dx/dy)^2=raizy^2+42,
então
l=integral0^2raizy^2+42,dy=12integral0^2raizy^2+4,dy
avaliamos a primitiva de raizy^2+4 e obtemos
raiz2+ln(1+raiz2)

Passo 6

Para (e) y=integral1^xraizt^3-1,dt implica y'=raizx^3-1. Então
1+(y')^2=1+(x^3-1)=x^3,
logo
raiz1+(y')^2=x^3/2
e
l=integral1^4x^3/2,dx=l[tfrac25x^5/2r]1^4=25(32-1)=625

Resposta

la=raiz32+ln1+raiz3raiz2, lb=6+14ln2, lc=ln(1+raiz2), ld=raiz2+ln(1+raiz2), le=tfrac625

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