Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo especificado.
x=1+2 y^2, com 1 <= y <= 2, em torno de x

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar, em torno do eixo x, a curva dada por
x = 1 + 2y^2,
para 1 <= y <= 2.
O conteúdo envolve a fórmula de área de superfície de revolução para curvas na forma x=x(y). A fórmula é
S = 2pi integraly1^y2 y ,raiz1 + l(dxdyr)^2,dy

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada
dxdy = ddy(1 + 2y^2) = 4y
Substituindo na fórmula, a área fica
S = 2pi integral1^2 y,raiz1 + (4y)^2;dy = 2pi integral1^2 y,raiz1 + 16y^2;dy

Passo 3

Para resolver
integral y,raiz1+16y^2,dy usamos a substituição
u = 1 + 16y^2, du = 32y,dy Longrightarrow y,dy = du32
Então
integral y,raiz1+16y^2,dy = integral raizu,du32 = 132integral u^1/2,du = 132cdot23,u^3/2 = 148,u^3/2

Passo 4

Voltando aos limites y=1 e y=2, temos u(1)=1+16=17 e u(2)=1+64=65. Portanto
S = 2pi l[148,u^3/2r]1^2 = pi24l(65^3/2 - 17^3/2r)

Resposta

S = pi24l(65^3/2 - 17^3/2r)

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