Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo
(a)
(e)
(b)
(f)
©
(g)
(d)
(h)
(a)
(e)
(b)
(f)
©
(g)
(d)
(h)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da superfície gerada pela rotação de cada curva y=f(x) em torno do eixo x no intervalo dado. O conteúdo é superfície de revolução e vamos precisar da derivada f’(x) e da fórmula de superfície.
Passo 2
A fórmula geral para a área de superfície obtida girando y=f(x), a≤x≤b, em torno do eixo x é:
Passo 3
Para (a) y=x^3 em [0,2], temos f’(x)=3x^2. A integral fica
Fazendo u=1+9x^4, du=36x^3dx, obtém-se
Passo 4
Para (b) 9x=y^2+18 ⇒ y=\sqrt{9x-18}, x∈[2,6]. Calcula-se f’(x)=9/[2\sqrt{9x-18}] e simplifica o integrando até 3\pi√(4x+1). Então
Passo 5
Para © y=√(1+4x), x∈[1,5], temos f’(x)=2/√(1+4x) e o integrando simplifica para 2\pi√(5+4x). Logo
Passo 6
Para (d) y=√(1+e^x), x∈[0,1], f’(x)=ex/[2√(1+ex)] e o integrando vira π(e^x+2). Daí
Passo 7
Para (e) y=sin(πx), x∈[0,1], f’(x)=πcos(πx). Fazendo u=cos(πx) reduz-se a integral elementar de √(1+π2u2). O resultado fechado é
Passo 8
Para (f) y=\frac{x^3}{6}+\frac{1}{2x}, x∈[1/2,1], calcula-se f’(x)=(x4-1)/(2x2) e o integrando simplifica a
. Integrando e avaliando dá
Passo 9
Para (g) supondo y=\tfrac{1}{3}(x2+1){3/2}, x∈[1,2], obtém-se f’(x)=x√(x^2+1) e
Passo 10
Para (h) y=1+2x^2 em [1,2], f’(x)=4x e o integrando fica 2π(1+2x2)√(1+16x2). Logo
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)