Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x
(a) y=x^3, 0 <= x <= 2
(e) y=sin (pi x), 0 <= x <= 1
(b) 9 x=y^2+18,2 <= x <= 6
(f) y=x^36+12 x, 12 <= x <= 1
© y=raiz1+4 x, 1 <= x <= 5
(g) y=13(y^2+1)^3 / 2, 1 <= x <= 2
(d) y=raiz1+e^x, 0 <= x <= 1
(h) y=1+2 x^2, 1 <= x <= 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da superfície gerada pela rotação de cada curva y=f(x) em torno do eixo x no intervalo dado. O conteúdo é superfície de revolução e vamos precisar da derivada f’(x) e da fórmula de superfície.

Passo 2

A fórmula geral para a área de superfície obtida girando y=f(x), a≤x≤b, em torno do eixo x é:
S ,=,2piintegrala^b f(x),raiz1+[f'(x)]^2,dx

Passo 3

Para (a) y=x^3 em [0,2], temos f’(x)=3x^2. A integral fica
Sa=2piintegral0^2 x^3raiz1+9x^4,dx
Fazendo u=1+9x^4, du=36x^3dx, obtém-se
Sa=pi27l(145^3/2-1r)

Passo 4

Para (b) 9x=y^2+18 ⇒ y=\sqrt{9x-18}, x∈[2,6]. Calcula-se f’(x)=9/[2\sqrt{9x-18}] e simplifica o integrando até 3\pi√(4x+1). Então
Sb=3piintegral2^6raiz4x+1,dx=49pi

Passo 5

Para © y=√(1+4x), x∈[1,5], temos f’(x)=2/√(1+4x) e o integrando simplifica para 2\pi√(5+4x). Logo
Sc=2piintegral1^5raiz5+4x,dx=98pi3

Passo 6

Para (d) y=√(1+e^x), x∈[0,1], f’(x)=ex/[2√(1+ex)] e o integrando vira π(e^x+2). Daí
Sd=piintegral0^1(e^x+2),dx=pi(e+1)

Passo 7

Para (e) y=sin(πx), x∈[0,1], f’(x)=πcos(πx). Fazendo u=cos(πx) reduz-se a integral elementar de √(1+π2u2). O resultado fechado é
Se=2raiz1+π^2+2πlnl(π+raiz1+π^2r)

Passo 8

Para (f) y=\frac{x^3}{6}+\frac{1}{2x}, x∈[1/2,1], calcula-se f’(x)=(x4-1)/(2x2) e o integrando simplifica a π6(x^5+4x+3x^-3). Integrando e avaliando dá
Sf=263pi256

Passo 9

Para (g) supondo y=\tfrac{1}{3}(x2+1){3/2}, x∈[1,2], obtém-se f’(x)=x√(x^2+1) e
Sg=2pi3integral1^2(x^2+1)^3/2raizx^4+x^2+1,dx

Passo 10

Para (h) y=1+2x^2 em [1,2], f’(x)=4x e o integrando fica 2π(1+2x2)√(1+16x2). Logo
Sh=2piintegral1^2(1+2x^2)raiz1+16x^2,dx

Resposta

a) Sa=pi27(145^3/2-1)
b) Sb=49pi
c) Sc=98pi3
d) Sd=pi(e+1)
e) Se=2raiz1+pi^2+2piln(pi+raiz1+pi^2)
f) Sf=263pi256
g) Sg=2pi3integral1^2(x^2+1)^3/2raizx^4+x^2+1,dx
h) Sh=2piintegral1^2(1+2x^2)raiz1+16x^2,dx

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