Um pintor deseja pintar os dois lados de uma cerca cuja base é uma curva C no plano x y dada por x^23+y^23=203^22, para x >= 0 e y >= 0. A altura em cada ponto (x, y) in C é dada por f(x, y)=y. Se o pintor cobra R reais por m^2, quanto ele receberá?

Passo 1

Resumo do enunciado e do conteúdo: O problema pede para calcular quanto um pintor vai receber ao pintar os dois lados de uma cerca cuja base é a curva C definida por x^2/3+y^2/3=203 no 1º quadrante e cuja altura em cada ponto (x,y) é f(x,y)=y. O conteúdo necessário é a integral de linha para área lateral de uma superfície vertical de altura variável.

Passo 2

Expressão da área de pintura: Para uma cerca vertical com altura f(x,y) ao longo de uma curva C, a área de um lado é dada por integralC f,ds. Como pintamos os dois lados, a área total será
A = 2integralC y,ds

Passo 3

Parametrização da curva: Reconhecemos que x^2/3+y^2/3=203 é uma superelipse. Podemos parametrizar C no 1º quadrante por
x(t)=203^3/2cos^3 t,
y(t)=203^3/2sin^3 t,
com t variando de 0 a pi/2.

Passo 4

Cálculo de ds: Usando
dxdt=-3,203^3/2cos^2 tsin t,
dydt=3,203^3/2sin^2 tcos t,
temos
ds=raizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2,dt =3,203^3/2sin tcos t,dt

Passo 5

Avaliação da integral integralC y,ds: Substituindo na integral,
integralC y,ds=integral0^pi/2l(203^3/2sin^3 tr)l(3,203^3/2sin tcos tr)dt =3,203^3integral0^pi/2sin^4 tcos t,dt
Fazendo a troca u=sin t, du=cos t,dt, de u=0 a 1,
integral0^pi/2sin^4 tcos t,dt=integral0^1u^4,du=15
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integralC y,ds=3,203^3cdot15=35,203^3

Passo 6

Valor recebido cobrando R: A área total pintada é
Atotal=2integralC y,ds=2cdot35,203^3=65,203^3
Como o pintor cobra R reais por metro quadrado, o valor que ele receberá é
65,203^3,R

Resposta

65,203^3,R reais

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