Um pintor deseja pintar os dois lados de uma cerca cuja base é uma curva
no plano
dada por
, para
e
. A altura em cada ponto
é dada por
. Se o pintor cobra
reais por
, quanto ele receberá?
Passo 1
Resumo do enunciado e do conteúdo: O problema pede para calcular quanto um pintor vai receber ao pintar os dois lados de uma cerca cuja base é a curva C definida por
no 1º quadrante e cuja altura em cada ponto
é
. O conteúdo necessário é a integral de linha para área lateral de uma superfície vertical de altura variável.
Passo 2
Expressão da área de pintura: Para uma cerca vertical com altura
ao longo de uma curva
, a área de um lado é dada por
. Como pintamos os dois lados, a área total será
Passo 3
Parametrização da curva: Reconhecemos que
é uma superelipse. Podemos parametrizar
no 1º quadrante por
com
variando de
a
.
Passo 4
Cálculo de
: Usando
temos
Passo 5
Avaliação da integral
: Substituindo na integral,
Fazendo a troca
,
, de
a
,
Logo
Passo 6
Valor recebido cobrando
: A área total pintada é
Como o pintor cobra
reais por metro quadrado, o valor que ele receberá é