Obtenha:
O volume da superfície de revolução obtida girando a curva y=cos ^2 x, 0 <= x <= pi2, em torno do eixo das abscissas;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o volume da superfície de revolução que resulta ao girar a curva $ y = \cos^{2}x $ no intervalo de $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} $ em torno do eixo das abscissas (que é basicamente o eixo $ x $).
Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente no tópico de volumes de sólidos de revolução. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do volume por discos.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o volume de um sólido de revolução quando giramos uma curva ao redor do eixo $ x $. A fórmula é:
x
Aqui, $ f(x) $ é a função que estamos girando, e $ [f(x)]^{2} $ representa o raio ao quadrado do disco em cada ponto $ x $.

Passo 3

No nosso caso, a função $ f(x) $ é $ \cos^{2}x $, e os limites de integração são de $ a = 0 $ até $ b = \frac{\pi}{2} $. Vamos então substituir esses valores na fórmula:
f(x)

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral $ \int \cos^{4}x , dx $. Para isso, usamos uma identidade trigonométrica para simplificar:
integral cos^4x , dx
Então, a integral fica:
cos^4x = ( cos^2x )^2 = ( 1 + cos 2x2 )^2 = 1 + 2cos 2x + cos^22x4
Para integrar $ \cos^{2}2x $, usamos outra identidade:
integral cos^4x , dx = 14 integral (1 + 2cos 2x + cos^22x) , dx
Substituindo de volta:
cos^22x
Calculando cada parte:
cos^22x = 1 + cos 4x2
integral cos^4x , dx = 14 [ integral 1 , dx + 2 integral cos 2x , dx + 12 integral (1 + cos 4x) , dx ]
integral 1 , dx = x
Então, substituindo de volta:
integral cos 2x , dx = sin 2x2
Simplificando:
integral cos 4x , dx = sin 4x4
integral cos^4x , dx = 14 [ x + 2 cdot sin 2x2 + 12 ( x + sin 4x4 ) ] + C

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $:
0
Calculando em $ x = \frac{\pi}{2} $:
pi2
V = pi [ 14 ( 3x2 + sin 2x + sin 4x8 ) ]0^pi2
x = pi2
E em $ x = 0 $:
32 cdot pi2 = 3pi4
sin (2 cdot pi2) = sin pi = 0
sin (4 cdot pi2) = sin 2pi = 0
Então, o volume fica:
x = 0

Resposta

O volume da superfície de revolução é $ \frac{3\pi^{2}}{16} $ unidades cúbicas.

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