Obtenha:
O volume da superfície de revolução obtida girando a curva
, em torno do eixo das abscissas;
O volume da superfície de revolução obtida girando a curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o volume da superfície de revolução que resulta ao girar a curva $ y = \cos^{2}x $ no intervalo de $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} $ em torno do eixo das abscissas (que é basicamente o eixo $ x $).
Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente no tópico de volumes de sólidos de revolução. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do volume por discos.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o volume de um sólido de revolução quando giramos uma curva ao redor do eixo $ x $. A fórmula é:
Aqui, $ f(x) $ é a função que estamos girando, e $ [f(x)]^{2} $ representa o raio ao quadrado do disco em cada ponto $ x $.
Passo 3
No nosso caso, a função $ f(x) $ é $ \cos^{2}x $, e os limites de integração são de $ a = 0 $ até $ b = \frac{\pi}{2} $. Vamos então substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral $ \int \cos^{4}x , dx $. Para isso, usamos uma identidade trigonométrica para simplificar:
Então, a integral fica:
Para integrar $ \cos^{2}2x $, usamos outra identidade:
Substituindo de volta:
Calculando cada parte:
Então, substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $:
Calculando em $ x = \frac{\pi}{2} $:
E em $ x = 0 $:
Então, o volume fica:
Resposta
O volume da superfície de revolução é $ \frac{3\pi^{2}}{16} $ unidades cúbicas.