Calcule a área da superfície obtida pela rotação em torno do eixo y da curva
.
[
\left(\mathrm{A}=\frac{\pi}{27}(\sqrt{1000}-1) u.a.\right)
\left(\mathrm{A}=\frac{\pi}{27}(\sqrt{1000}-1) u.a.\right)
Passo 1
A questão pede a área da superfície gerada pela rotação da curva
, para
, em torno do eixo
. Isso cai no conteúdo de cálculo de área de superfície de revolução: vamos precisar da fórmula
onde
.
Passo 2
Primeiro, calculemos a derivada da curva:
Então
e assim o elemento de arco é
Passo 3
Agora montamos o integral da área:
Passo 4
Vamos simplificar o radical:
Passo 5
Substituindo no integrando:
Passo 6
Para resolver esse integral, fazemos a substituição
Passo 7
Quando
, temos
; quando
,
. Logo o integral vira
Passo 8
Agora integramos
: