Calcule a área da superfície obtida pela rotação em torno do eixo y da curva y=raiz[3]x, 0 <= x <= 1.
[
\left(\mathrm{A}=\frac{\pi}{27}(\sqrt{1000}-1) u.a.\right)

Passo 1

A questão pede a área da superfície gerada pela rotação da curva y=raiz[3]x, para 0<= x<=1, em torno do eixo y. Isso cai no conteúdo de cálculo de área de superfície de revolução: vamos precisar da fórmula S=integral 2pi x,ds,onde ds=raiz1+(y')^2,dx.

Passo 2

Primeiro, calculemos a derivada da curva: y= x^1/3implies y'=13x^-2/3Então (y')^2=19x^-4/3,e assim o elemento de arco é ds=raiz1+19x^-4/3,dx

Passo 3

Agora montamos o integral da área:
S=integral0^12pi xraiz1+19x^-4/3,dx

Passo 4

Vamos simplificar o radical:
raiz1+19x^-4/3=raiz9x^4/3+19x^4/3=raiz9x^4/3+13x^2/3

Passo 5

Substituindo no integrando:
S=integral0^12pi xcdotraiz9x^4/3+13x^2/3,dx=2pi3integral0^1x^1/3raiz9x^4/3+1,dx

Passo 6

Para resolver esse integral, fazemos a substituição
u=9x^4/3+1implies du=12x^1/3,dximplies x^1/3,dx=du12

Passo 7

Quando x=0, temos u=1; quando x=1, u=10. Logo o integral vira
S=2pi3integralu=1^10raizucdotdu12=pi18integral1^10u^1/2,du

Passo 8

Agora integramos u^1/2:
integral u^1/2,du=23u^3/2,então
S=pi18cdot23u^3/2|1^10=pi27l(10^3/2-1r)

Resposta

S=pi27l(raiz1000-1r)

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