1.8 Use o volume para determinar se A=(1,1,3), B=(2,-2,5), C=(4,2,1) e D=(2,-2,6) estão no mesmo plano.
Solução: Os pontos A, B, C e D não estão no mesmo plano se, e somente se, os vetores A B, A C e A D determinam um paralelepípedo de volume não nulo. Neste caso, o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores A B, A C e A D é dado por
V=|A B cdot(A C times A D)|=10
Portanto, os pontos A, B, C e D não estão no mesmo plano.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os pontos A=(1,1,3), B=(2,−2,5), C=(4,2,1) e D=(2,−2,6) são coplanares usando volume de paralelepípedo. O conteúdo é geometria vetorial e vamos precisar do produto misto (ou triplo) de vetores para determinar esse volume.

Passo 2

Primeiro, formamos os vetores AD e $\overrightarrow{AD}$ subtraindo coordenadas dos pontos:
$$
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1,
-2-1,5-3)=(1,-3,2),
$$
$$
\overrightarrow{AC}=C-A=(4-1,2-1,1-3)=(3,1,-2),
$$
$$
\overrightarrow{AD}=D-A=(2-1,-2-1,6-3)=(1,-3,3).
$$

Passo 3

Agora calculamos o produto vetorial AC times AD= i & j & k 3 & 1 & -2 1 & -3 & 3 =l(1cdot3-(-2)cdot(-3), -l(3cdot3-(-2)cdot1r), 3cdot(-3)-1cdot1r) =(-3,-11,-10) :
$$
\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}=

=\bigl(1\cdot3-(-2)\cdot(-3),
-\bigl(3\cdot3-(-2)\cdot1\bigr),
3\cdot(-3)-1\cdot1\bigr)
=(-3,-11,-10).
$$

Passo 4

Por fim, usamos o produto escalar para obter o volume do paralelepípedo:
$$
V=|\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})|
=|(1,-3,2)\cdot(-3,-11,-10)|
=|1\cdot(-3)+(-3)\cdot(-11)+2\cdot(-10)|
=|-3+33-20|
=|10|
=10.
$$
Como $+10$ é diferente de zero, o volume é não nulo, logo os vetores não são coplanares e os pontos não estão no mesmo plano.

Resposta

Os pontos A, B, C e D não estão no mesmo plano.

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