1.7 Faça o que se pede:
(a) Parametrize a reta perpendicular ao plano que contém e e passando por .
Solução: De modo análogo ao item (a) da questão 1.6 , o vetor é ortogonal ao plano que contém os pontos A, B e C, e portanto tem a mesma direção da reta que procuramos. Além disso, tal reta passa pelo ponto A. Assim, como esta reta tem a direção de A B times A C=(-2,4,-2) e passa pelo ponto A=(1,1,1), sua equação na forma vetorial é
(x, y, z)=(1,1,1)+lambda(-2,4,-2)
Escrevendo esta equação na sua forma paramétrica, obtemos
l x=1-2 lambda y=1+4 lambda z=1-2 lambda
o qual é uma solução do problema.
(b) Encontre a equação a x+b y+c z=d do plano contendo os pontos A, B e C.
Solução: Para obter a equação de um plano, é suficiente termos um ponto e um vetor ortogonal ao plano. Já temos o ponto A (por exemplo) e também já vimos que o vetor
A B times A C=(-2,4,-2)
é ortogonal ao plano que passa pelos pontos A, B e C. Assim, um ponto P=(x, y, z) pertence ao plano que procuramos se, e somente se,
A P cdot(A B times A C)=0
ou
(x-1, y-1, z-1) cdot(-2,4,-2)=0
da qual resulta
-2 x+4 y-2 z=0
que é a equação solicitada.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) a equação paramétrica da reta perpendicular ao plano que contém os pontos A=(1,1,1), B=(2,3,4) e C=(4,5,6) e que passa por A; (b) a equação do plano contendo A, B e C na forma ax+by+cz=d. Vamos usar produto vetorial para achar o vetor normal ao plano, equação de reta a partir de ponto e direção, e equação de plano a partir de normal e ponto.
Passo 2
Primeiro calculamos os vetores AB e AC, que ligam A a B e A a C:
AB = B – A = (2−1, 3−1, 4−1) = (1,2,3)
AC = C – A = (4−1, 5−1, 6−1) = (3,4,5)
Passo 3
Em seguida, usamos produto vetorial para obter um vetor ortogonal ao plano:
n = AB × AC
Aplicando a definição de determinante 3×3, temos
n = (1,2,3)×(3,4,5) = (2·5 − 3·4,
3·3 − 1·5,
1·4 − 2·3) = (10−12, 9−5, 4−6) = (−2,4,−2)
Passo 4
(a) Para a reta perpendicular ao plano que passa por A, basta usar A como ponto e n=(−2,4,−2) como direção. A equação vetorial é
(x,y,z) = (1,1,1) + lambda(-2,4,-2)
Convertendo para forma paramétrica: x = 1 - 2lambda, y = 1 + 4lambda, z = 1 - 2lambda, lambda in R
Passo 5
(b) Para o plano, usamos o mesmo vetor n=(−2,4,−2) como normal e A=(1,1,1) como ponto qualquer do plano. A condição é