Provar que para todo , o vetor normal a no ponto é
Passo 1
Neste exercício temos a superfície definida como o gráfico de uma função de classe C¹ f : ℝ²→ℝ, ou seja
e queremos encontrar um vetor normal a S no ponto (x,y,f(x,y)). Vamos usar parametrização de superfícies e produto vetorial.
Passo 2
Como S é um gráfico de f, podemos parametrizá-la por
Os vetores tangentes à superfície em cada ponto são as derivadas parciais de : e .
Passo 3
Calculando essas derivadas:
Isso faz sentido pois derivamos cada componente de em relação a x ou y.
Passo 4
O vetor normal não unitário pode ser obtido pelo produto vetorial
Usando a forma de determinante, temos
cujo cálculo expande nas três componentes.
Passo 5
Ao expandir o determinante vemos que as componentes resultantes são exatamente -tfracpartial fpartial x,,-tfracpartial fpartial y,,1. Como esse vetor é perpendicular aos vetores vec rx e vec ry, ele é normal à superfície. Como f é C¹, todas as derivadas existem e são contínuas, garantindo que vec N(x,y) esteja bem definido em todo S.