Seja f: R^2 R de classe C^1 e seja S a superficie definida por
S=(x, y, z) in R^3: z=f(x, y)
Provar que para todo (x, y), o vetor normal a S no ponto (x, y, f(x, y)) é
N(x, y)=(-partial fpartial x,-partial fpartial y, 1)

Passo 1

Neste exercício temos a superfície definida como o gráfico de uma função de classe C¹ f : ℝ²→ℝ, ou seja
S=(x,y,z)inR^3:;z=f(x,y),
e queremos encontrar um vetor normal a S no ponto (x,y,f(x,y)). Vamos usar parametrização de superfícies e produto vetorial.

Passo 2

Como S é um gráfico de f, podemos parametrizá-la por
vec r(x,y)=(x, y, f(x,y))
Os vetores tangentes à superfície em cada ponto são as derivadas parciais de vec r: vec rx=partialvec r/partial x e vec ry=partialvec r/partial y.

Passo 3

Calculando essas derivadas:
vec rx(x,y)=(1,,0,,tfracpartial fpartial x),
vec ry(x,y)=(0,,1,,tfracpartial fpartial y)
Isso faz sentido pois derivamos cada componente de vec r em relação a x ou y.

Passo 4

O vetor normal não unitário pode ser obtido pelo produto vetorial
vec N(x,y)=vec rx(x,y)timesvec ry(x,y)
Usando a forma de determinante, temos
vec N(x,y)= i & j & k 1 & 0 & tfracpartial fpartial x 0 & 1 & tfracpartial fpartial y ,
cujo cálculo expande nas três componentes.

Passo 5

Ao expandir o determinante vemos que as componentes resultantes são exatamente -tfracpartial fpartial x,,-tfracpartial fpartial y,,1. Como esse vetor é perpendicular aos vetores vec rx e vec ry, ele é normal à superfície. Como f é C¹, todas as derivadas existem e são contínuas, garantindo que vec N(x,y) esteja bem definido em todo S.

Resposta

N(x,y)=l(-tfracpartial fpartial x,-tfracpartial fpartial y,1r)

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