3 Calcule a área da superfície S, parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 que esta dentro do cone z=raizx^2+y^22.

Passo 1

O enunciado pede a área da porção da esfera
x^2+y^2+z^2=4
que fica dentro do cone
z = raizx^2+y^22,
Isso é um problema de área de superfície sobre uma calota esférica. Vamos usar coordenadas esféricas e a fórmula da área de uma calota de raio R=2.

Passo 2

Em coordenadas esféricas centradas na origem temos
z = Rcosphi, raizx^2+y^2 = Rsinphi
O cone é dado por
z = raizx^2+y^2raiz2 ;Longrightarrow; Rcosphi = Rsinphiraiz2 ;Longrightarrow; tanphi = raiz2
Logo o ângulo de abertura até a interseção é
phi0 = arctan(raiz2),
cujo cosseno é
cosphi0 = 1raiz1+tan^2phi0 = 1raiz1+2 = 1raiz3

Passo 3

A área da calota esférica de raio R que vai de phi=0 até phi=phi0 é
A = 2pi R^2l(1 - cosphi0r)
Aqui usamos a fórmula padrão para calotas esféricas.

Passo 4

Substituindo R=2 e cosphi0=1/raiz3,
A = 2pi cdot 2^2l(1 - tfrac1raiz3r) = 8pil(1 - tfrac1raiz3r)

Resposta

8pil(1 - tfrac1raiz3r)

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