Considere o problema de vibração de uma corda elástica fixa nas duas extremidades, com comprimento L=2, que obedece à equação:
9 ux x=ut t
Considere as seguintes funções que descrevem a posição inicial da corda, em situações distintas:
(I) u(x, 0)=0
(II) u(x, 0)=sen(pi x2)
(III) u(x, 0)=x
Considere também as seguintes funções que descrevem a velocidade inicial da corda em cada ponto, também em situações distintas:
(A) ut(x, 0)=0
(B) ut(x, 0)=-sen(3 pi x2)
(C) ut(x, 0)=1
Determine a solução u(x, t) do problema para:
Condições Iniciais II e C

Passo 1

O enunciado dá a equação de onda unidimensional
9,uxx = utt
na barra [0,2] com condições de contorno fixas
u(0,t)=u(2,t)=0,
e pede a solução para as condições iniciais
(II);u(x,0)=sin!l(tfracpi x2r), (C);ut(x,0)=1
O conteúdo necessário é o método de separação de variáveis e expansão em série de senos. A velocidade de propagação é c=3.

Passo 2

Procuramos solução na forma de série de autovetores do problema com contorno fixo:
u(x,t) =sumn=1^inftyl[Ancos!l(tfracnpi cLtr) + Bnsin!l(tfracnpi cLtr)r] sin!l(tfracnpi xLr),
onde L=2 e c=3, logo tfracnpi cL=tfrac3npi2.

Passo 3

Impondo u(x,0)=sum Ansin(tfracnpi x2)=sin(tfracpi x2), pela ortogonalidade segue
An =2Lintegral0^Lsin!l(tfracpi x2r)sin!l(tfracnpi x2r),dx = 1,&n=1, 0,&nneq1

Passo 4

Para a velocidade inicial usamos
ut(x,0) =sumn=1^inftyBn;npi cL,sin!l(tfracnpi x2r) =1
Expandindo 1 em série de sin(npi x/2) obtemos
npi cL,Bn =2Lintegral0^L1cdotsin!l(tfracnpi x2r),dx =2Lcdot2npil(1-(-1)^nr)
Com L=2 e c=3 isso dá
Bn =2cdot2npi1-(-1)^ntfracnpicdot32 =43n^2pi^2l(1-(-1)^nr) = 83n^2pi^2,&n ímpar, 0,&n par í

Passo 5

Juntando tudo, a solução é

Resposta

u(x,t) =sin!l(tfracpi x2r)cos!l(tfrac3pi t2r) +summ=1^infty83,(2m-1)^2pi^2, sin!l(tfrac(2m-1)pi x2r), sin!l(tfrac3(2m-1)pi t2r)

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