Considere um arame semicircular uniforme de raio
. a) Demonstrar que o centróide está situado no eixo de simetria a uma distância
do centro. b) Demonstrar que o momento de inércia do arame com respeito ao diâmetro que passa pelos extremos do arame é
, sendo
a massa do arame.
Passo 1
O enunciado trata de um arame fino, em forma de semicírculo de raio
, de massa total
. Precisamos encontrar (a) a coordenada do centróide ao longo do eixo de simetria (que aqui vamos chamar de eixo
), e (b) o momento de inércia desse arame em relação ao diâmetro horizontal que passa pelos extremos (eixo
). Para isso vamos usar integração em coordenadas polares e a densidade linear uniforme.
Passo 2
Estabelecemos um sistema de coordenadas com origem no centro do semicírculo, de modo que os pontos do arame são
com
variando de
a
. A densidade linear é
Um elemento de massa será
Passo 3
Para achar a coordenada
do centróide usamos
Substituindo
e
, temos
Como
, isso fica
Passo 4
Agora buscamos o momento de inércia em relação ao diâmetro horizontal (eixo
), que é
Usando de novo
e
, obtemos
Sabemos que
logo
Resposta
(a) O centróide está a
do centro, ao longo do eixo de simetria.
(b) O momento de inércia em relação ao diâmetro que une os extremos é .
(b) O momento de inércia em relação ao diâmetro que une os extremos é