Considere um arame semicircular uniforme de raio a. a) Demonstrar que o centróide está situado no eixo de simetria a uma distância 2 a / pi do centro. b) Demonstrar que o momento de inércia do arame com respeito ao diâmetro que passa pelos extremos do arame é 12 M a^2, sendo M a massa do arame.

Passo 1

O enunciado trata de um arame fino, em forma de semicírculo de raio a, de massa total M. Precisamos encontrar (a) a coordenada do centróide ao longo do eixo de simetria (que aqui vamos chamar de eixo y), e (b) o momento de inércia desse arame em relação ao diâmetro horizontal que passa pelos extremos (eixo x). Para isso vamos usar integração em coordenadas polares e a densidade linear uniforme.

Passo 2

Estabelecemos um sistema de coordenadas com origem no centro do semicírculo, de modo que os pontos do arame são
x = acostheta, y = asintheta,
com theta variando de 0 a pi. A densidade linear é
lambda = Mcomprimento = Mpi a
Um elemento de massa será
dm = lambda,ds = lambda,(a,dtheta)

Passo 3

Para achar a coordenada yG do centróide usamos
yG = 1Mintegral y,dm
Substituindo y = asintheta e dm=lambda,a,dtheta, temos
yG = 1Mintegral0^pi l(asinthetar),l(lambda a,dthetar) = lambda a^2Mintegral0^pisintheta,dtheta
Como lambda=M/(pi a), isso fica
yG = apiintegral0^pisintheta,dtheta = apil[-costhetar]0^pi = apil(-(-1)-(-1)r) = 2api

Passo 4

Agora buscamos o momento de inércia em relação ao diâmetro horizontal (eixo x), que é
Ix = integral y^2,dm
Usando de novo y=asintheta e dm=lambda a,dtheta, obtemos
Ix = lambda aintegral0^pi (asintheta)^2,dtheta = lambda a^3integral0^pisin^2theta,dtheta
Sabemos que
integral0^pisin^2theta,dtheta = pi2,
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Ix = lambda a^3cdotpi2 = Mpi a,a^3cdotpi2 = 12M a^2

Resposta

(a) O centróide está a tfrac2api do centro, ao longo do eixo de simetria.
(b) O momento de inércia em relação ao diâmetro que une os extremos é tfrac12,M a^2.

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