(1 Ponto) a) Mostre que se é uma imersão, então para todo , existe um aberto tal que é injetora. (Dica: Use um dos resultados do formulário)
(1,5 Ponto) b) Mostre que é igual a imagem de uma parametrização, ou seja, de uma imersão tal que é um homeomorfismo. (Dica: Para mostrar que é um homeomorfismo, ache ).
Passo 1
O enunciado está em duas partes. Em (a) temos uma imersão
com para todo , e queremos mostrar que é localmente injetora. Em (b) definimos
e devemos exibí-la como imagem de uma imersão que seja homeomorfismo sobre sua imagem. Vamos usar o Teorema do Posto (forma local) e propriedades elementares de projeção.
Passo 2
Para (a) aplicamos o Teorema do Posto: se tem posto máximo , então existem vizinhanças abertas e e difeomorfismos
tais que, em coordenadas,
Como a aplicação é manifestamente injetora em , segue que
é injetora em . Como e são bijeções locais, concluímos que
é injetora.
Passo 3
Mais explicitamente, se beta(f(x1))=beta(f(x2)) então betacirc fcircalpha^-1(u1)=betacirc fcircalpha^-1(u2)
com ui=alpha(xi). Da identidade (u1,0)=(u2,0) segue u1=u2 e, invertendo alpha, x1=x2. Assim f|U é injetora.
Vejamos que varphi é uma imersão: Dvarphi(x)
é a matriz
Dvarphi(x) = Im[6pt] Df(x) ,
onde Im é a matriz identidade mtimes m. Como Df(x) tem posto m, a matriz acima também tem posto m, logo varphi é imersão.]
Passo 5
Mostramos que varphi:Omegatovarphi(Omega) é um homeomorfismo. De fato, varphi é contínua e injetiva, e sua inversa explícita é a projeção canônica sobre a primeira componente:
psi:R^mtimesR^ntoR^m, psi(x,y)=x
Restrita a varphi(Omega), psi satisfaz psicircvarphi=idOmega
e varphicircpsi=idvarphi(Omega).
Como psi é contínua, varphi^-1=psi|varphi(Omega) é contínua, e portanto varphi é um homeomorfismo de Omega em varphi(Omega)=graf(f).
Resposta
a) Em cada xinOmega o Teorema do Posto dá vizinhanças onde f fica equivalente à inclusão umapsto(u,0), que é injetora, logo f|U é injetora.
b) A imersão varphi(x)=(x,f(x))
tem posto m e é bijetora sobre sua imagem com inversa contínua dada pela projeção (x,y)mapsto x. Portanto varphi parametriza graf(f).