(1 Ponto) a) Mostre que se f é uma imersão, então para todo x in Omega, existe um aberto U subset Omega tal que f|U: U R^n é injetora. (Dica: Use um dos resultados do formulário)
(1,5 Ponto) b) Mostre que graf(f):=(x, f(x)) ; x in Omega é igual a imagem de uma parametrização, ou seja, de uma imersão varphi: Omega subset R^m R^m times R^n tal que varphi: Omega varphi(Omega) é um homeomorfismo. (Dica: Para mostrar que é um homeomorfismo, ache varphi^-1 ).

Passo 1

O enunciado está em duas partes. Em (a) temos uma imersão
;f:OmegasubsetR^mtoR^n
com rankDf(x)=m para todo xinOmega, e queremos mostrar que f é localmente injetora. Em (b) definimos
graf(f)=(x,f(x));|;xinOmega
e devemos exibí-la como imagem de uma imersão
varphi:OmegatoR^mtimesR^n que seja homeomorfismo sobre sua imagem. Vamos usar o Teorema do Posto (forma local) e propriedades elementares de projeção.

Passo 2

Para (a) aplicamos o Teorema do Posto: se Df(x0) tem posto máximo m, então existem vizinhanças abertas Uni x0 e Vni f(x0) e difeomorfismos
alpha:U ;longrightarrow;tilde UsubsetR^m , beta:V ;longrightarrow;tilde VsubsetR^n
tais que, em coordenadas,
betacirc fcircalpha^-1(u) = (u,0)inR^mtimesR^n-m
Como a aplicação umapsto(u,0) é manifestamente injetora em tilde U, segue que
betacirc fcircalpha^-1
é injetora em tilde U. Como alpha e beta são bijeções locais, concluímos que
f|U:UtoR^n
é injetora.

Passo 3

Mais explicitamente, se beta(f(x1))=beta(f(x2)) então
betacirc fcircalpha^-1(u1)=betacirc fcircalpha^-1(u2)
com ui=alpha(xi). Da identidade
(u1,0)=(u2,0) segue u1=u2 e, invertendo alpha, x1=x2. Assim f|U é injetora.

Passo 4

Para (b) definimos
varphi:Omega;longrightarrow;R^mtimesR^n, varphi(x)=(,x,;f(x),)
Vejamos que varphi é uma imersão:
Dvarphi(x)
é a matriz
Dvarphi(x) = Im[6pt] Df(x) ,
onde Im é a matriz identidade mtimes m. Como Df(x) tem posto m, a matriz acima também tem posto m, logo varphi é imersão.]

Passo 5

Mostramos que varphi:Omegatovarphi(Omega) é um homeomorfismo. De fato, varphi é contínua e injetiva, e sua inversa explícita é a projeção canônica sobre a primeira componente:
psi:R^mtimesR^ntoR^m, psi(x,y)=x
Restrita a varphi(Omega), psi satisfaz
psicircvarphi=idOmega
e
varphicircpsi=idvarphi(Omega).
Como psi é contínua, varphi^-1=psi|varphi(Omega) é contínua, e portanto varphi é um homeomorfismo de Omega em varphi(Omega)=graf(f).

Resposta

a) Em cada xinOmega o Teorema do Posto dá vizinhanças onde f fica equivalente à inclusão umapsto(u,0), que é injetora, logo f|U é injetora.
b) A imersão
varphi(x)=(x,f(x))
tem posto m e é bijetora sobre sua imagem com inversa contínua dada pela projeção (x,y)mapsto x. Portanto varphi parametriza graf(f).

Exercícios relacionados