Classifique todos os pontos criticos da função
f(x, y)=-109 x^3-y^3+53 x^2 y+12 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente classificar todos os pontos críticos da função $ f(x, y) = -\frac{10}{9} x^{3} - y^{3} + \frac{5}{3} x^{2} y + 12 y $. Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, mais especificamente, vamos encontrar os pontos críticos da função e determinar se eles são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $, encontrar onde essas derivadas são iguais a zero e depois analisar a natureza desses pontos usando as segundas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ fica:
f(x, y)
E a derivada parcial em relação a $ y $ fica:
x

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Assim, temos o sistema de equações:
-103 x^2 + 103 x y = 0
-3y^2 + 53 x^2 + 12 = 0
Vamos simplificar a primeira equação. Podemos multiplicar ambos os lados por $ \frac{3}{10} $ para facilitar:
310
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ x = 0 $
  2. $ y - x = 0 \implies y = x $
Vamos analisar cada caso separadamente.

Passo 4

Caso 1: $ x = 0 $
Substituindo $ x = 0 $ na segunda equação:
x = 0
Então, temos dois pontos críticos neste caso:
  • $ (0, 2) $
  • $ (0, -2) $

Passo 5

Caso 2: $ y = x $
Substituindo $ y = x $ na segunda equação:
y = x
Simplificando os termos com $ x^{2} $:
y = x
Então, os pontos críticos neste caso são:
  • $ (3, 3) $
  • $ (-3, -3) $

Passo 6

Agora que temos todos os pontos críticos: $ (0, 2) $, $ (0, -2) $, $ (3, 3) $ e $ (-3, -3) $, vamos classificar cada um deles. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais e o discriminante $ D $.
As segundas derivadas são:
(0, 2)
(0, -2)
(3, 3)
O discriminante é dado por:
(-3, -3)
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico.

Passo 7

Análise do ponto $ (0, 2) $:
Calculando as segundas derivadas:
(0, 2)
fxx = -203 cdot 0 + 103 cdot 2 = 203
fyy = -6 cdot 2 = -12
Calculando $ D $:
fxy = 103 cdot 0 = 0
Como $ D < 0 $, o ponto $ (0, 2) $ é um ponto de sela.

Passo 8

Análise do ponto $ (0, -2) $:
Calculando as segundas derivadas:
(0, -2)
fxx = -203 cdot 0 + 103 cdot (-2) = -203
fyy = -6 cdot (-2) = 12
Calculando $ D $:
fxy = 103 cdot 0 = 0
Como $ D < 0 $, o ponto $ (0, -2) $ também é um ponto de sela.

Passo 9

Análise do ponto $ (3, 3) $:
Calculando as segundas derivadas:
(3, 3)
fxx = -203 cdot 3 + 103 cdot 3 = -20 + 10 = -10
fyy = -6 cdot 3 = -18
Calculando $ D $:
fxy = 103 cdot 3 = 10
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, o ponto $ (3, 3) $ é um ponto de máximo local.

Passo 10

Análise do ponto $ (-3, -3) $:
Calculando as segundas derivadas:
(-3, -3)
fxx = -203 cdot (-3) + 103 cdot (-3) = 20 - 10 = 10
fyy = -6 cdot (-3) = 18
Calculando $ D $:
fxy = 103 cdot (-3) = -10
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, o ponto $ (-3, -3) $ é um ponto de mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • $ (0, 2) $: ponto de sela
  • $ (0, -2) $: ponto de sela
  • $ (3, 3) $: ponto de máximo local
  • $ (-3, -3) $: ponto de mínimo local

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