Classifique todos os pontos criticos da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente classificar todos os pontos críticos da função $ f(x, y) = -\frac{10}{9} x^{3} - y^{3} + \frac{5}{3} x^{2} y + 12 y $. Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, mais especificamente, vamos encontrar os pontos críticos da função e determinar se eles são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $, encontrar onde essas derivadas são iguais a zero e depois analisar a natureza desses pontos usando as segundas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ fica:
E a derivada parcial em relação a $ y $ fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Assim, temos o sistema de equações:
Vamos simplificar a primeira equação. Podemos multiplicar ambos os lados por $ \frac{3}{10} $ para facilitar:
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ x = 0 $
- $ y - x = 0 \implies y = x $
Vamos analisar cada caso separadamente.
Passo 4
Caso 1: $ x = 0 $
Substituindo $ x = 0 $ na segunda equação:
Então, temos dois pontos críticos neste caso:
- $ (0, 2) $
- $ (0, -2) $
Passo 5
Caso 2: $ y = x $
Substituindo $ y = x $ na segunda equação:
Simplificando os termos com $ x^{2} $:
Então, os pontos críticos neste caso são:
- $ (3, 3) $
- $ (-3, -3) $
Passo 6
Agora que temos todos os pontos críticos: $ (0, 2) $, $ (0, -2) $, $ (3, 3) $ e $ (-3, -3) $, vamos classificar cada um deles. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais e o discriminante $ D $.
As segundas derivadas são:
O discriminante é dado por:
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico.
Passo 7
Análise do ponto $ (0, 2) $:
Calculando as segundas derivadas:
Calculando $ D $:
Como $ D < 0 $, o ponto $ (0, 2) $ é um ponto de sela.
Passo 8
Análise do ponto $ (0, -2) $:
Calculando as segundas derivadas:
Calculando $ D $:
Como $ D < 0 $, o ponto $ (0, -2) $ também é um ponto de sela.
Passo 9
Análise do ponto $ (3, 3) $:
Calculando as segundas derivadas:
Calculando $ D $:
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, o ponto $ (3, 3) $ é um ponto de máximo local.
Passo 10
Análise do ponto $ (-3, -3) $:
Calculando as segundas derivadas:
Calculando $ D $:
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, o ponto $ (-3, -3) $ é um ponto de mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
- $ (0, 2) $: ponto de sela
- $ (0, -2) $: ponto de sela
- $ (3, 3) $: ponto de máximo local
- $ (-3, -3) $: ponto de mínimo local