Calcule área da superfície da parte do plano 3 x+2 y+z=6 que está no primeiro octante.
Observação: Faça usando Integrais

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da parte do plano 3x + 2y + z = 6 que está no primeiro octante. Isso significa que x, y e z são todos positivos. Para isso, vamos usar cálculo de integrais, especificamente integrais duplas para encontrar áreas de superfícies.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual é a região no plano xy que corresponde à parte do plano 3x + 2y + z = 6 no primeiro octante. Vamos resolver a equação do plano para z:
z = 6 - 3x - 2y
Como estamos no primeiro octante, z tem que ser maior ou igual a zero:
6 - 3x - 2y >= 0 implies 3x + 2y <= 6

Passo 3

Agora, vamos encontrar os limites para x e y. A inequação 3x + 2y <= 6 define uma região triangular no plano xy. Para achar os limites:
  • Quando x = 0: 2y <= 6 implies y <= 3
  • Quando y = 0: 3x <= 6 implies x <= 2
Então, x varia de 0 a 2, e para cada x, y varia de 0 até 6 - 3x2.

Passo 4

A fórmula para a área de uma superfície z = f(x, y) é:
Área = integral duplaD raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy Á
Vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y.

Passo 5

Calculando as derivadas:
partial zpartial x = partialpartial x(6 - 3x - 2y) = -3
partial zpartial y = partialpartial y(6 - 3x - 2y) = -2

Passo 6

Substituindo as derivadas na fórmula da área:
Área = integral duplaD raiz1 + (-3)^2 + (-2)^2 , dx , dy = integral duplaD raiz1 + 9 + 4 , dx , dy = integral duplaD raiz14 , dx , dy Á
Como raiz14 é constante, podemos tirar fora da integral:
Área = raiz14 integral duplaD dx , dy Á

Passo 7

A integral integral duplaD dx , dy representa a área da região D no plano xy. Já determinamos que D é um triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (0,3). A área desse triângulo é:
Área de D = 12 times base times aÁ

Passo 8

Agora, substituímos a área de D na expressão da área total:
Área = raiz14 times 3 = 3raiz14 Á

Resposta

A área da superfície da parte do plano 3x + 2y + z = 6 que está no primeiro octante é 3raiz14.

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