Calcule área da superfície da parte do plano
que está no primeiro octante.
Observação: Faça usando Integrais
Observação: Faça usando Integrais
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da parte do plano
que está no primeiro octante. Isso significa que x, y e z são todos positivos. Para isso, vamos usar cálculo de integrais, especificamente integrais duplas para encontrar áreas de superfícies.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual é a região no plano xy que corresponde à parte do plano
no primeiro octante. Vamos resolver a equação do plano para z:
Como estamos no primeiro octante, z tem que ser maior ou igual a zero:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os limites para x e y. A inequação
define uma região triangular no plano xy. Para achar os limites:
- Quando
: - Quando
:
Então, x varia de 0 a 2, e para cada x, y varia de 0 até
.
Passo 4
A fórmula para a área de uma superfície
é:
Vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y.
Passo 5
Calculando as derivadas:
Passo 6
Substituindo as derivadas na fórmula da área:
Como
é constante, podemos tirar fora da integral:
Passo 7
A integral
representa a área da região D no plano xy. Já determinamos que D é um triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (0,3). A área desse triângulo é:
Passo 8
Agora, substituímos a área de D na expressão da área total:
Resposta
A área da superfície da parte do plano
que está no primeiro octante é
.