Utilize coordenadas cilíndricas para calcular a integral tripla:
integral tripla raizx^2+y^2 d V
Onde E é a região contida dentro do cilindro x^2+y^2=9 e entre os planos z=0 e z=4

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de cálculo integral usando coordenadas cilíndricas. O que a gente tem aqui é uma integral tripla que envolve a função raizx^2+y^2 sobre uma região E. A região E está dentro do cilindro x^2+y^2=9 e entre os planos z=0 e z=4. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a mudança para coordenadas cilíndricas e como transformar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Ao invés de usar x, y e z, a gente usa r, theta e z, onde:
  • r é a distância do ponto à origem no plano xy, ou seja, r = raizx^2+y^2.
  • theta é o ângulo em relação ao eixo x.
  • z continua sendo a coordenada vertical.
Nessa mudança, a função raizx^2+y^2 simplesmente vira r.

Passo 3

Agora, precisamos transformar os limites de integração para coordenadas cilíndricas. A região E está dentro do cilindro x^2+y^2=9, que em coordenadas cilíndricas é r = 3, já que r^2 = x^2 + y^2. Além disso, z varia de 0 a 4.
Então, os limites serão:
  • r vai de 0 a 3,
  • theta vai de 0 a 2pi (para cobrir todo o círculo),
  • z vai de 0 a 4.

Passo 4

A próxima coisa importante é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas, que é dV = r , dr , dtheta , dz. Isso significa que nossa integral tripla vai ficar assim:
integral triplaE raizx^2+y^2 , dV = integral0^2pi integral0^3 integral0^4 r cdot r , dz , dr , dtheta
Note que substituímos raizx^2+y^2 por r, e dV por r , dr , dtheta , dz.

Passo 5

Vamos simplificar a integral:
integral0^2pi integral0^3 integral0^4 r cdot r , dz , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^3 integral0^4 r^2 , dz , dr , dtheta
Primeiro, integremos em relação a z:
integral0^4 r^2 , dz = r^2 cdot z |0^4 = 4r^2
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^3 4r^2 , dr , dtheta

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a r:
integral0^3 4r^2 , dr = 4 cdot ( r^33 ) |0^3 = 4 cdot ( 273 - 0 ) = 4 cdot 9 = 36
Substituindo de volta na integral:
integral0^2pi 36 , dtheta = 36 cdot theta |0^2pi = 36 cdot 2pi = 72pi

Resposta

O valor da integral tripla é 72pi.

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