Utilize coordenadas cilíndricas para calcular a integral tripla:
Onde E é a região contida dentro do cilindro e entre os planos
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de cálculo integral usando coordenadas cilíndricas. O que a gente tem aqui é uma integral tripla que envolve a função sobre uma região . A região está dentro do cilindro e entre os planos e . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a mudança para coordenadas cilíndricas e como transformar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Ao invés de usar , e , a gente usa , e , onde:
é a distância do ponto à origem no plano , ou seja, .
é o ângulo em relação ao eixo .
continua sendo a coordenada vertical.
Nessa mudança, a função simplesmente vira .
Passo 3
Agora, precisamos transformar os limites de integração para coordenadas cilíndricas. A região está dentro do cilindro , que em coordenadas cilíndricas é , já que . Além disso, varia de 0 a 4.
Então, os limites serão:
vai de 0 a 3,
vai de 0 a (para cobrir todo o círculo),
vai de 0 a 4.
Passo 4
A próxima coisa importante é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas, que é . Isso significa que nossa integral tripla vai ficar assim: