Converta o ponto (12, pi6, 10 ) das coordenadas cilíndricas para coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto dado em coordenadas cilíndricas para coordenadas esféricas. O conteúdo aqui é transformação entre sistemas de coordenadas, e vamos precisar usar as definições de coordenadas esféricas: rho, phi (ângulo a partir do eixo z) e theta (mesmo ângulo azimutal das coordenadas cilíndricas).
Nas coordenadas cilíndricas temos r=12, theta=pi6 e z=10.

Passo 2

Para encontrar rho, que é a distância do ponto à origem em 3D, usamos
rho = raizr^2 + z^2
Substituindo, temos rho = raiz12^2 + 10^2 = raiz144 + 100 = raiz244 = 2raiz61.

Passo 3

O ângulo phi em coordenadas esféricas é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z. Podemos calculá-lo por
phi = arctanl(rzr)
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phi = arctanl(1210r) = arctanl(65r).

Passo 4

Em coordenadas esféricas o ângulo azimutal theta é o mesmo das coordenadas cilíndricas, ou seja, theta = pi6.

Resposta

As coordenadas esféricas são
l(rho,,phi,,thetar) = l(2raiz61,,arctanl(tfrac65r),,tfracpi6r)

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