Calcule a área da superfície S.
  • S : parte do plano x+y+z=1, que está dentro do cilindro x^2+y^2=9.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície S, que é a parte do plano x+y+z=1 contida dentro do cilindro x^2+y^2=9. Isso envolve integração de área de uma superfície dada por função z=f(x,y), então vamos usar a fórmula
área(S) =integral duplaDraiz1+fx^2+fy^2,dA, á
onde D é a projeção de S no plano xy.

Passo 2

Escrevemos o plano como gráfico de uma função:
z = 1 - x - y
Logo
fx = partial zpartial x = -1, fy = partial zpartial y = -1

Passo 3

O fator de correção da área é
raiz1 + fx^2 + fy^2 = raiz1 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz3
Isto quer dizer que cada elemento de área no plano xy é multiplicado por raiz3 para dar área na superfície.

Passo 4

A projeção D de S no plano xy é o disco
x^2 + y^2 <= 9,
cuja área vale 9pi.

Passo 5

Logo a área da superfície é
área(S) = integral duplaDraiz3,dA = raiz3,l(área(D)r) = raiz3cdot 9pi = 9piraiz3 áá

Resposta

A área da superfície S é 9piraiz3.

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