Encontre uma parametrização para a seguinte superfície S :
sigma: D longmapsto S onde sigma(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) in S, forall(u, v) in D
  • S: A porção da esfera x^2+y^2+z^2=4 no primeiro octante entre o plano x y e o cone z=raizx^2+y^2.
  • Definir o conjunto D e a definição de sigma(u, v).

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da porção da esfera
x^2+y^2+z^2=4
que está no primeiro octante ( x,y,z>=0) e fica “entre” o plano z=0 (plano xy) e o cone
z=raizx^2+y^2,
O assunto é usar coordenadas esféricas para parametrizar essa casquinha de esfera de raio 2.

Passo 2

Em coordenadas esféricas tomamos
x = 2sinphicostheta, y = 2sinphisintheta, z = 2cosphi,
com phi ângulo medido desde o eixo z e theta ângulo no plano xy.
No primeiro octante temos
0 <= theta <= tfracpi2, 0<=phi<=tfracpi2
O cone z=raizx^2+y^2 vira
2cosphi ;=;2sinphi ;Longrightarrow; phi = tfracpi4,
O plano z=0 corresponde a phi=tfracpi2.

Passo 3

Logo, o domínio D dos parâmetros (u,v) (trocando phito u e thetato v) é
D = l(u,v)mid tfracpi4<= u<=tfracpi2,;0<= v<=tfracpi2r,
e a parametrização fica
sigma(u,v) = l(2sin ucos v,;2sin usin v,;2cos ur),
com (u,v)in D.

Resposta

O domínio e a parametrização são
D = l(u,v)mid tfracpi4<= u<=tfracpi2,;0<= v<=tfracpi2r, sigma(u,v) = l(2sin ucos v,;2sin usin v,;2cos ur)

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