Calcule a integral: I=integralC(x^2+y^2) d r, onde: C é a quarta parte da circunferência, interseção da esfera x^2+y^2+z^2=4 com o plano y=x situada no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
I=integralCl(x^2+y^2r),dr
onde C é o quarto de círculo obtido ao intersectar a esfera x^2+y^2+z^2=4 com o plano y=x no primeiro octante. O que precisamos usar aqui é parametrização de curvas em R^3, cálculo de dr pela norma de dr/dtheta e substituição de x e y na integral.

Passo 2

Como o plano y=x contém a direção
u=1raiz2(1,1,0)
e a esfera é centrada na origem, a interseção é um círculo de raio 2 contido no plano gerado por u e v=(0,0,1). Podemos parametrizar C por
r(theta) =2costheta,u+2sintheta,v =l(tfrac2costhetaraiz2,,tfrac2costhetaraiz2,,2sinthetar),
com theta variando de 0 a tfracpi2 para ficar no primeiro octante (isto é, x>=0, y>=0, z>=0).

Passo 3

Calculamos o vetor derivada e sua norma para obter dr:
drdtheta =l(-tfrac2sinthetaraiz2,,-tfrac2sinthetaraiz2,,2costhetar)
Então
l|tfracdrdthetar| =raiz2l(tfrac2sinthetaraiz2r)^2+(2costheta)^2 =raiz4sin^2theta+4cos^2theta =2,
logo dr=2,dtheta.

Passo 4

Na curva C temos
x^2+y^2 =2l(tfrac2costhetaraiz2r)^2 =4cos^2theta
Assim o integrando vezes dr fica
l(x^2+y^2r),dr =4cos^2thetacdot 2,dtheta =8cos^2theta,dtheta

Passo 5

Basta agora integrar de theta=0 a theta=tfracpi2:
I=integral0^pi28cos^2theta,dtheta =8cdotpi4 =2pi

Resposta

I=2pi

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