Calcule a área da superfície
S=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}=1 \quad \text { e } \quad 0 \leq z \leq x y+1\right\}

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície cilíndrica
S=\{(x,y,z):x^{2}+y^{2}=1,\;0\le z\le x\,y+1\}.
O conteúdo aqui é parametrização de superfície e cálculo de área via integral dupla.

Passo 2

Parametrizamos o cilindro usando
r(\theta,z)=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;z),
com \theta\in[0,2\pi] e z\in[0,\cos\theta\sin\theta+1], pois x\,y=\cos\theta\sin\theta.

Passo 3

Calculamos o elemento de área.
\frac{\partial r}{\partial \theta}=(-\sin\theta,\cos\theta,0), \quad \frac{\partial r}{\partial z}=(0,0,1),
\bigl\|\frac{\partial r}{\partial \theta}\times\frac{\partial r}{\partial z}\bigr\| =\bigl\|(\cos\theta,\sin\theta,0)\bigr\|=1.

Passo 4

A área é
A=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\cos\theta\sin\theta+1}1\;dz\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\bigl(\cos\theta\sin\theta+1\bigr)\,d\theta.

Passo 5

Usamos \cos\theta\sin\theta=\tfrac12\sin2\theta. Então
A=\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta+\tfrac12\int_{0}^{2\pi}\sin2\theta\,d\theta =2\pi+0=2\pi.

Resposta

A área da superfície S é 2\pi.

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