Calcule a área da superfície
S=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}=1 \quad \text { e } \quad 0 \leq z \leq x y+1\right\}

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície
S = \{(x,y,z)\mid x^2+y^2=1,\;0\le z\le xy+1\}.
Este é um problema de área de superfície parametrizada (no caso, a parte lateral de um cilindro de raio 1 com altura variável). Vamos parametrizar o cilindro e usar a fórmula da área de superfície.

Passo 2

Parametrizamos o cilindro de raio 1 por
\mathbf r(\theta,z) = (\cos\theta,\;\sin\theta,\;z),
onde \theta\in[0,2\pi] e, para cada \theta, o valor de z varia de 0 até
xy+1 = (\cos\theta)(\sin\theta)+1 = \tfrac12\sin(2\theta)+1.

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes:
\frac{\partial \mathbf r}{\partial \theta} = (-\sin\theta,\;\cos\theta,\;0), \qquad \frac{\partial \mathbf r}{\partial z} = (0,0,1).
O módulo do produto vetorial é
\Bigl\|\frac{\partial \mathbf r}{\partial \theta}\times \frac{\partial \mathbf r}{\partial z}\Bigr\| =\sqrt{(-\sin\theta)^2+(\cos\theta)^2}=1.

Passo 4

A área da superfície é
\iint_{D} \Bigl\|\frac{\partial \mathbf r}{\partial \theta}\times \frac{\partial \mathbf r}{\partial z}\Bigr\|\,d\theta\,dz =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\tfrac12\sin(2\theta)+1}1\;dz\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\Bigl(\tfrac12\sin(2\theta)+1\Bigr)d\theta.

Passo 5

Calculamos a integral:
\int_{0}^{2\pi}\tfrac12\sin(2\theta)\,d\theta=0, \qquad \int_{0}^{2\pi}1\,d\theta=2\pi.
Somando, a área é 2\pi.

Resposta

A área da superfície S é 2\pi.

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