Seja
região limitada por uma curva fechada e suave por partes
. Mostre que a área da região
é dada por
, para
ou
.
(9) Mostre que a integral
sobre qualquer quadrado
depende apenas do tamanho do quadrado, e não da sua localização.
(9) Mostre que a integral
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral de linha
sobre qualquer quadrado
depende apenas do lado do quadrado, e não da posição. O conteúdo principal é o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha sobre uma curva fechada
com uma integral dupla do rotacional do campo vetorial em
, região delimitada por
.
Passo 2
Identificamos o campo
com
Passo 3
Calculamos o rotacional escalar
Logo,
Passo 4
Pelo Teorema de Green,
Passo 5
Como o integrando é constante igual a
,
Passo 6
Para um quadrado de lado
, a área é
. Assim
que depende apenas de
e não da localização de
.