Seja D região limitada por uma curva fechada e suave por partes C. Mostre que a área da região D é dada por A(D)=\oint_{C} \vec{F} d r, para \vec{F}=\frac{-y}{2} \vec{i}+\frac{x}{2} \vec{j} ou A(D)=\frac{1}{2} \oint_{C}-y d x+x d y.
(9) Mostre que a integral I=\oint_{C} x y^{2} d x+\left(x^{2} y+2 x\right) d y sobre qualquer quadrado C depende apenas do tamanho do quadrado, e não da sua localização.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de linha
I = \oint_{C} x\,y^{2}\,dx + \bigl(x^{2}y + 2x\bigr)\,dy
sobre qualquer quadrado C depende apenas do lado do quadrado, e não da posição. O conteúdo principal é o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha sobre uma curva fechada C com uma integral dupla do rotacional do campo vetorial em D, região delimitada por C.

Passo 2

Identificamos o campo \vec F = (P,Q) com
P(x,y) = x\,y^{2}, \quad Q(x,y) = x^{2}y + 2x.

Passo 3

Calculamos o rotacional escalar
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y + 2x\bigr) = 2xy + 2,
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,y^{2}\bigr) = 2xy.
Logo,
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (2xy + 2) - 2xy = 2.

Passo 4

Pelo Teorema de Green,
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA = \iint_{D}2\,dA.

Passo 5

Como o integrando é constante igual a 2,
\iint_{D}2\,dA = 2 \iint_{D}dA = 2\,A(D).

Passo 6

Para um quadrado de lado a, a área é A(D)=a^{2}. Assim
I = 2\,a^{2},
que depende apenas de a e não da localização de D.

Resposta

I = 2\,a^{2}.

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