Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada:
\oint_{C}\left(e^{x^{4}}+y^{2}\ d x+(x y+\operatorname{sen}(\ln y)) d y), onde C é o quadrilátero percorrido do (1,1) ao (1,2) ao (2,3) ao (2,1).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\oint_{C}\bigl(e^{x^{4}}+y^{2}\bigr)\,dx+\bigl(xy+\operatorname{sen}(\ln y)\bigr)\,dy
ao longo de C, o quadrilátero com vértices (1,1)\to(1,2)\to(2,3)\to(2,1).
O conteúdo é o Teorema de Green, que converte \oint_{C}P\,dx+Q\,dy numa integral dupla sobre a região D limitada por C:
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy \;=\;\iint_{D}\!\bigl(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\bigr)\,dA.

Passo 2

Identifico
P(x,y)=e^{x^{4}}+y^{2}, \quad Q(x,y)=x\,y+\operatorname{sen}(\ln y).
Calculo as derivadas parciais:
\tfrac{\partial Q}{\partial x}=y, \qquad \tfrac{\partial P}{\partial y}=2y.
Logo o integrando de Green é
\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y} = y - 2y = -\,y.

Passo 3

Agora descrevo a região D. Ela é o quadrilátero com arestas:
  • de (1,1) a (2,1): reta y=1,
  • de (2,1) a (2,3): reta x=2,
  • de (2,3) a (1,2): reta y=x+1,
  • de (1,2) a (1,1): reta x=1.
Em forma de integral iterada:
1 \le x \le 2, \qquad 1 \le y \le x+1.

Passo 4

Montei a integral dupla de -y em D:
\iint_{D}(-y)\,dA =\int_{x=1}^{2}\!\int_{y=1}^{x+1}(-y)\,dy\,dx.
Calculo primeiro a integral em y:
\int_{1}^{x+1}(-y)\,dy = -\tfrac12\Bigl[(x+1)^{2}-1\Bigr].
Depois a integral em x:
\int_{1}^{2}\bigl[-\tfrac12\bigl((x+1)^{2}-1\bigr)\bigr]\,dx = -\tfrac12\int_{1}^{2}\bigl(x^{2}+2x\bigr)\,dx = -\tfrac12\cdot\tfrac{16}{3} = -\tfrac{8}{3}.

Resposta

-\tfrac{8}{3}

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