Calcule a área da superfície S=(x, y, z) in R^3 ; z^2=2 x y, 0<x<5 e 0<y<5.

Passo 1

A superfície S é dada pela equação
z^2=2xy, 0<x<5,;0<y<5,
ou seja, é a união de dois gráficos z=g(x,y)=pmraiz2xy sobre o retângulo
D=(x,y)mid0<x<5,;0<y<5
Para achar a área de cada folha vamos usar a fórmula
Área(z=g(x,y))=integral duplaDraiz1+gx^2+gy^2,dx,dy Á

Passo 2

Escolhendo a folha positiva
g(x,y)=raiz2xy,
gx=partialpartial xraiz2xy =yraiz2xy =raizy2x, gy=raizx2y
Logo
1+gx^2+gy^2 =1+y2x+x2y =x^2+2xy+y^22xy =(x+y)^22xy,
portanto
raiz1+gx^2+gy^2 =x+yraiz2,x,y
A área da folha positiva é
A+ =integral0^5!!integral0^5x+yraiz2xy,dx,dy

Passo 3

Como a folha negativa dá a mesma contribuição, a área total é
A=2,A+ =2integral0^5integral0^5x+yraiz2xy,dx,dy =raiz2integral0^5!!integral0^5l(raiztfracxy+raiztfracyxr),dx,dy
Por simetria
integral0^5!!integral0^5raiztfracxy,dx,dy =integral0^5!!integral0^5raiztfracyx,dx,dy =I,
então
A=2raiz2,I, I=integral0^5!!integral0^5x^1/2y^-1/2,dx,dy

Passo 4

Como o integrando separa,
I =l(integral0^5x^1/2,dxr),l(integral0^5y^-1/2,dyr) =l[tfrac23x^3/2r]0^5cdotl[2y^1/2r]0^5 =23,5^3/2;times;2raiz5 =1003

Passo 5

Substituindo em A=2raiz2,I, vem
A =2raiz2;times;1003 =200raiz23

Resposta

200raiz23

Exercícios relacionados