Problema 82 Resolva 25^raizx-124 * 5^raizx=125.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
25^raizx ;-; 124 cdot 5^raizx ;=; 125
Trata-se de uma equação exponencial com base 5. Vamos usar mudança de variável para reduzir a um polinômio de segundo grau.

Passo 2

Definimos
t = 5^raizx
Então
25^raizx = (5^2)^raizx = 5^2raizx = t^2
Substituindo na equação original obtemos
t^2 ;-; 124,t = 125

Passo 3

Reescrevendo como equação quadrática, temos
t^2 - 124,t - 125 = 0
Calculamos o discriminante:
De<a = (-124)^2 - 4cdot1cdot(-125) = 15376 + 500 = 15876,
raizDe<a = raiz15876 = raiz4cdot3969 = 2cdot63 = 126
As raízes são
t = 124 pm 1262 Longrightarrow t1 = 125, t2 = -1
Como t=5^raizx>0, descartamos t2 e ficamos com t=125.

Passo 4

Voltando à variável original:
5^raizx = 125 = 5^3 Longrightarrow raizx = 3 Longrightarrow x = 9
Verificamos que x=9 está no domínio [0,infty) e satisfaz a equação.

Resposta

x = 9

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