Calcule a área da superfície do toro de revolução obtido por meio da rotação de uma circunferência C no plano y z de centro (0,3,0) e raio r=1 em torno do eixo z.

Passo 1

No enunciado, temos uma circunferência de raio r=1 e centro em (0,3,0) no plano yz, girada em torno do eixo z. Isso gera um toro de revolução. O conteúdo aqui é cálculo de área de superfície de revolução e vamos usar o teorema de Pappus para superfícies.

Passo 2

O teorema de Pappus afirma que a área gerada pela rotação de uma curva de comprimento L em torno de um eixo que não a intersecta é S = L cdot d, onde d é o comprimento do caminho percorrido pelo baricentro da curva. No nosso caso, o baricentro da circunferência fica a R = 3 do eixo z, então d = 2pi R, e o comprimento da circunferência é L = 2pi r. Assim temos:
S = (2pi r),(2pi R) = 4pi^2 R r

Passo 3

Substituindo r = 1 e R = 3 na expressão anterior, obtemos:
S = 4pi^2 cdot 3 cdot 1 = 12pi^2

Resposta

12pi^2

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