Calcule a área da superfície do toro de revolução obtido por meio da rotação de uma circunferência
no plano
de centro
e raio
em torno do eixo
.
Passo 1
No enunciado, temos uma circunferência de raio
e centro em
no plano
, girada em torno do eixo
. Isso gera um toro de revolução. O conteúdo aqui é cálculo de área de superfície de revolução e vamos usar o teorema de Pappus para superfícies.
Passo 2
O teorema de Pappus afirma que a área gerada pela rotação de uma curva de comprimento
em torno de um eixo que não a intersecta é
, onde
é o comprimento do caminho percorrido pelo baricentro da curva. No nosso caso, o baricentro da circunferência fica a
do eixo
, então
, e o comprimento da circunferência é
. Assim temos:
Passo 3
Substituindo
e
na expressão anterior, obtemos: