Considere o campo de vetores
. Calcule
ao longo da curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular uma integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva
para
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, calcular a derivada dessa parametrização, avaliar o campo vetorial na curva e então integrar o produto escalar desses resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma integral de linha no contexto de um campo vetorial é essencialmente somar as contribuições do campo ao longo de uma trajetória. Aqui, a curva já está parametrizada por
, ou seja, temos
. Essa parametrização nos permite expressar
,
e
em função de
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada da curva em relação a
, que é
. Isso nos dá o vetor tangente à curva em cada ponto, essencial para a integral de linha. Vamos derivar cada componente:
Simplificando a derivada de
:
Sabemos que
, então:
Portanto, o vetor derivada é:
Passo 4
Vamos agora substituir a parametrização
no campo vetorial
. Ou seja, vamos calcular
:
Substituindo
,
, e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
. Isso significa multiplicar componente a componente e somar os resultados:
Substituindo os valores de
,
, e
:
Simplificando:
Passo 6
Finalmente, vamos integrar essa expressão de
a
:
Essa integral pode ser resolvida numericamente usando métodos de integração ou ferramentas computacionais, pois a expressão é bastante complexa para uma integração analítica simples.
Resposta
A integral de linha
ao longo da curva
de
a
é igual a aproximadamente -1.589.