Calcule a área da superficie vertical limitada inferiormente pelo segmento de reta com extremidades nos pontos A=(0,1) e B=(1,1) e superiormente pela funçã f(x, y)=x^3+y Observaçăo: parametrize o segmento de reta no intervalo 0 <= t <= 1
C: n(t)=(t, 1), 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcular a área de uma superfície vertical que está embaixo limitada por um segmento de reta entre os pontos A=(0,1) e B=(1,1) e em cima limitada pela função f(x, y) = x^3 + y. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integração sobre superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o segmento de reta que liga os pontos A e B. Como A=(0,1) e B=(1,1), podemos ver que essa reta é horizontal, pois o valor de y é sempre 1. Para parametrizar essa reta, usamos C: n(t) = (t, 1) onde t varia de 0 a 1. Isso significa que vamos mover de x=0 até x=1 mantendo y=1.

Passo 3

Agora, vamos focar na função que limita a superfície por cima, f(x, y) = x^3 + y. Essa função nos dá a altura da superfície para cada ponto (x, y). Como nossa reta está definida para y=1, podemos substituir y por 1 na função, ficando f(x, 1) = x^3 + 1.

Passo 4

Para encontrar a área da superfície vertical, vamos calcular a integral da função f(x, 1) ao longo do segmento de reta parametrizado. A integral será em relação a t de 0 a 1, já que t representa nosso x.

Passo 5

Vamos configurar a integral:
Área = integral0^1 f(t, 1) , dt = integral0^1 (t^3 + 1) , dt Á
Aqui, substituímos x por t porque estamos parametrizando em termos de t.

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:
integral0^1 (t^3 + 1) , dt = integral0^1 t^3 , dt + integral0^1 1 , dt
= [t^44]0^1 + [t]0^1
= (1^44 - 0^44) + (1 - 0)
= 14 + 1 = 54

Resposta

A área da superfície vertical é 54 unidades de área.

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