Calcule a área da superficie vertical limitada inferiormente pelo segmento de reta com extremidades nos pontos
e
e superiormente pela funçã
Observaçăo: parametrize o segmento de reta no intervalo
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcular a área de uma superfície vertical que está embaixo limitada por um segmento de reta entre os pontos
e
e em cima limitada pela função
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integração sobre superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o segmento de reta que liga os pontos
e
. Como
e
, podemos ver que essa reta é horizontal, pois o valor de
é sempre 1. Para parametrizar essa reta, usamos
onde
varia de 0 a 1. Isso significa que vamos mover de
até
mantendo
.
Passo 3
Agora, vamos focar na função que limita a superfície por cima,
. Essa função nos dá a altura da superfície para cada ponto
. Como nossa reta está definida para
, podemos substituir
por 1 na função, ficando
.
Passo 4
Para encontrar a área da superfície vertical, vamos calcular a integral da função
ao longo do segmento de reta parametrizado. A integral será em relação a
de 0 a 1, já que
representa nosso
.
Passo 5
Vamos configurar a integral:
Aqui, substituímos
por
porque estamos parametrizando em termos de
.
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral:
Resposta
A área da superfície vertical é
unidades de área.