Questão 4. (4.0) Determine se as funções f dadas são contínuas em seus respectivos domínios. Justifique suas respostas.
f(x, y)=c2 x yx^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) 0, se x=y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função f:R^2toR definida por
f(x,y)= 2xyx^2+y^2, & (x,y)neq(0,0), 0, & (x,y)=(0,0)
O conteúdo principal é continuidade em R^2. Vamos usar a definição de continuidade e análise de limite direcionais.

Passo 2

Para qualquer ponto (x,y)neq(0,0), o numerador e o denominador de f(x,y)=tfrac2xyx^2+y^2 são polinômios e o denominador não se anula. Logo, por ser quociente de funções contínuas onde o denominador é não nulo, f é contínua em todo ponto com (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Para verificar a continuidade em (0,0), calculamos lim(x,y)to(0,0)f(x,y). Use coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta
Então
f(r,theta)=2(rcostheta)(rsintheta)r^2=2costhetasintheta=sin(2theta)
Esse valor independe de r e varia com theta. Como a função de ângulo não tem limite único quando rto0, o limite de f(x,y) não existe em (0,0).

Passo 4

Como f(0,0)=0 mas lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe, a função não é contínua em (0,0).

Resposta

A função é contínua em todo ponto com (x,y)neq(0,0) e descontínua em (0,0).

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