Questão 4. (4.0) Determine se as funções
dadas são contínuas em seus respectivos domínios. Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a continuidade da função
definida por
O conteúdo principal é continuidade em
. Vamos usar a definição de continuidade e análise de limite direcionais.
Passo 2
Para qualquer ponto
, o numerador e o denominador de
são polinômios e o denominador não se anula. Logo, por ser quociente de funções contínuas onde o denominador é não nulo,
é contínua em todo ponto com
.
Passo 3
Para verificar a continuidade em
, calculamos
. Use coordenadas polares:
Então
Esse valor independe de
e varia com
. Como a função de ângulo não tem limite único quando
, o limite de
não existe em
.
Passo 4
Como
mas
não existe, a função não é contínua em
.
Resposta
A função é contínua em todo ponto com
e descontínua em
.