Calcule através de mudança de variáveis.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
usando mudança de variáveis. O conteúdo envolverá interpretação da região de integração no plano
, aplicação de uma mudança de variáveis (primeiro um deslocamento em
, depois coordenadas polares) e uso do jacobiano.
Passo 2
Para simplificar a região, fazemos a mudança de variáveis
Nesse caso,
e o jacobiano é 1. Os limites originais em
eram de
até
, ou seja:
enquanto
vai de 0 a 1. Assim, a nova região é o semicírculo
Passo 3
Em termos de
, o integrando
vira
e a integral passa a ser
onde
.
Passo 4
Agora usamos coordenadas polares no plano
:
com
,
, e o jacobiano é
. Substituindo,
Passo 5
Separamos a integral em duas partes:
A segunda parte é zero porque
é função ímpar em
num intervalo simétrico. A primeira parte factoriza: