Calcule através de mudança de variáveis.
integral0^1[integral1-raiz1-x^2^1+raiz1-x^2 x y d y] d x. (Resp: 23)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral0^1integral1-raiz1-x^2^1+raiz1-x^2 x,y,dy,dx usando mudança de variáveis. O conteúdo envolverá interpretação da região de integração no plano (x,y), aplicação de uma mudança de variáveis (primeiro um deslocamento em y, depois coordenadas polares) e uso do jacobiano.

Passo 2

Para simplificar a região, fazemos a mudança de variáveis
u = x, v = y - 1
Nesse caso, y = v + 1 e o jacobiano é 1. Os limites originais em y eram de 1 - raiz1 - x^2 até 1 + raiz1 - x^2, ou seja:
v in [-raiz1 - u^2,; +raiz1 - u^2],
enquanto u vai de 0 a 1. Assim, a nova região é o semicírculo
u^2 + v^2 <= 1, u >= 0

Passo 3

Em termos de (u,v), o integrando x,y vira
u,(v + 1)
e a integral passa a ser
integral duplaR u,(v+1),du,dv,
onde R = (u,v): u^2+v^2<=1, u>=0.

Passo 4

Agora usamos coordenadas polares no plano (u,v):
u = rcostheta, v = rsintheta,
com r>=0, thetain[-tfracpi2,tfracpi2], e o jacobiano é r. Substituindo,
u,(v+1),du,dv = (rcostheta)l(rsintheta + 1r),r,dr,dtheta = l(r^2costheta + r^3costhetasinthetar),dr,dtheta

Passo 5

Separamos a integral em duas partes:
integral-pi2^pi2integral0^1 r^2costheta,dr,dtheta + integral-pi2^pi2integral0^1 r^3costhetasintheta,dr,dtheta
A segunda parte é zero porque costhetasintheta é função ímpar em theta num intervalo simétrico. A primeira parte factoriza:
l(integral-pi2^pi2costheta,dthetar)l(integral0^1 r^2,drr) = 2 times 13 = 23

Resposta

tfrac23

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