Questão 4. (4.0) Determine se as funções f dadas são contínuas em seus respectivos domínios. Justifique suas respostas.
f(x, y)=y e^x+cos (x y)

Passo 1

Temos a função f: R^2 to R dada por
f(x,y)=y,e^x+cos(xy)
O domínio é R^2. Para determinar se f é contínua, vamos usar que funções elementares (exponencial, cosseno, projeções) são contínuas e que produto e soma de funções contínuas também o são.

Passo 2

O termo (x,y)mapsto y,e^x é produto da projeção (x,y)mapsto y, contínua em R^2, e da função (x,y)mapsto e^x, que é composição da projeção (x,y)mapsto x com a exponencial, logo contínua. Portanto, como produto de contínuas, y,e^x é contínuo em R^2.

Passo 3

O termo (x,y)mapsto cos(xy) é composição da função produto (x,y)mapsto xy, contínua em R^2, com a função cos, contínua em R. Logo, cos(xy) é contínua em R^2.

Passo 4

Por fim, f(x,y)=y,e^x+cos(xy) é soma de duas funções contínuas em R^2. Como soma de funções contínuas é contínua, concluímos que f é contínua em todo o seu domínio R^2.

Resposta

A função f(x,y)=y,e^x+cos(xy) é contínua em todo o seu domínio R^2.

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