Testamos v_{0}=1 nas três equações: para u_{0}=1 temos 1+2\cdot 1=3, que coincide com z_{0}=3. Para u_{0}=-1 teríamos -1+2\cdot 1=1\neq 3. Portanto o par correto é
(u_{0},v_{0})=(1,1).
Passo 3
Vou explicar o método que vamos usar (aula rápida e prática). A superfície está dada pela parametrização vetor
\mathbf{r}(u,v)=(u^{2},\,v^{3},\,u+2v).
Os vetores \mathbf{r}_{u}=\partial\mathbf{r}/\partial u e \mathbf{r}_{v}=\partial\mathbf{r}/\partial v são vetores tangentes à superfície nas direções das variações de u e v. O plano tangente no ponto correspondente a (u_{0},v_{0}) é o plano que passa pelo ponto \mathbf{r}(u_{0},v_{0}) e contém \mathbf{r}_{u}(u_{0},v_{0}) e \mathbf{r}_{v}(u_{0},v_{0}).
Para transformar isso numa equação cartesiana do plano, calculamos um vetor normal \mathbf{n} ao plano tangente usando o produto vetorial
Explicação curta: \partial/\partial u mede como a posição muda se só mexermos u; por isso a segunda componente em \mathbf{r}_{u} é zero (pois y=v^{3} não depende de u). O mesmo raciocínio vale para \mathbf{r}_{v}.
Passo 5
Agora avaliamo-las no ponto paramétrico (u_{0},v_{0})=(1,1):
Esses são dois vetores tangentes ao plano tangente no ponto (1,1,3).
Passo 6
Vamos achar um vetor normal ao plano usando o produto vetorial. Explico o produto vetorial rapidamente: dado \mathbf{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) e \mathbf{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}), o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor perpendicular a ambos, calculado pela determinante:
Podemos usar esse vetor normal (qualquer múltiplo não-nulo serve também).
Passo 7
A equação do plano com normal \mathbf{n}=(-3,-4,6) que passa por (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,1,3) é
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-(1,1,3)\bigr)=0.
Escrevendo isso:
(-3,-4,6)\cdot(x-1,y-1,z-3)=0.
Fazendo o produto escalar e simplificando passo a passo:
-3(x-1)-4(y-1)+6(z-3)=0.
-3x+3-4y+4+6z-18=0.
Somando as constantes 3+4-18=-11:
-3x-4y+6z-11=0.
Multiplicando por -1 para ficar mais “bonito”:
3x+4y-6z+11=0.
Essa é a equação cartesiana do plano tangente.
Passo 8
Recapitulando de forma prática: encontramos (u_{0},v_{0})=(1,1), calculamos \mathbf{r}_{u} e \mathbf{r}_{v}, fizemos o produto vetorial para obter o normal e usamos a equação normal·(x-x0,y-y0,z-z0)=0 para obter a equação final do plano. Você consegue repetir esse procedimento em qualquer superfície paramétrica similar — é um padrão de resolução que vale para muitas questões de prova. Vai dar certo, continue!