Determine o plano tangente à superfície dada, no ponto dado.
Determine o plano tangente à superfície com equações paramétricas
x=u^{2}, y=v^{3} z=u+2 v
no ponto ( 1,1,3 ).

Passo 1

O enunciado dá a superfície em forma paramétrica pelas equações
x=u^{2},\quad y=v^{3},\quad z=u+2v
e pede o plano tangente a essa superfície no ponto (1,1,3).
Informações importantes extraídas do enunciado:
\text{Ponto: }(x_{0},y_{0},z_{0})=(1,1,3).
\text{Equações paramétricas: }x(u,v)=u^{2},\; y(u,v)=v^{3},\; z(u,v)=u+2v.çõé
Não sabemos diretamente quais valores de (u,v) dão esse ponto, então precisamos encontrá-los antes de continuar.

Passo 2

A primeira coisa é achar os parâmetros (u_{0},v_{0}) tais que
u_{0}^{2}=1,\quad v_{0}^{3}=1,\quad u_{0}+2v_{0}=3.
Resolvendo:
u_{0}^{2}=1 \Rightarrow u_{0}=\pm 1.
v_{0}^{3}=1 \Rightarrow v_{0}=1.
Testamos v_{0}=1 nas três equações: para u_{0}=1 temos 1+2\cdot 1=3, que coincide com z_{0}=3. Para u_{0}=-1 teríamos -1+2\cdot 1=1\neq 3. Portanto o par correto é
(u_{0},v_{0})=(1,1).

Passo 3

Vou explicar o método que vamos usar (aula rápida e prática). A superfície está dada pela parametrização vetor
\mathbf{r}(u,v)=(u^{2},\,v^{3},\,u+2v).
Os vetores \mathbf{r}_{u}=\partial\mathbf{r}/\partial u e \mathbf{r}_{v}=\partial\mathbf{r}/\partial v são vetores tangentes à superfície nas direções das variações de u e v. O plano tangente no ponto correspondente a (u_{0},v_{0}) é o plano que passa pelo ponto \mathbf{r}(u_{0},v_{0}) e contém \mathbf{r}_{u}(u_{0},v_{0}) e \mathbf{r}_{v}(u_{0},v_{0}).
Para transformar isso numa equação cartesiana do plano, calculamos um vetor normal \mathbf{n} ao plano tangente usando o produto vetorial
\mathbf{n}=\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v},
e então usamos a equação do plano com normal:
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-\mathbf{r}(u_{0},v_{0})\bigr)=0.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais (vou explicar o que significa cada coordenada):
\mathbf{r}(u,v)=(u^{2},\,v^{3},\,u+2v).
Derivando componente a componente em relação a u, tratando v como constante:
\mathbf{r}_{u}(u,v)=\left(\frac{\partial}{\partial u}u^{2},\;\frac{\partial}{\partial u}v^{3},\;\frac{\partial}{\partial u}(u+2v)\right)=(2u,\;0,\;1).
Derivando em relação a v, tratando u como constante:
\mathbf{r}_{v}(u,v)=\left(\frac{\partial}{\partial v}u^{2},\;\frac{\partial}{\partial v}v^{3},\;\frac{\partial}{\partial v}(u+2v)\right)=(0,\;3v^{2},\;2).
Explicação curta: \partial/\partial u mede como a posição muda se só mexermos u; por isso a segunda componente em \mathbf{r}_{u} é zero (pois y=v^{3} não depende de u). O mesmo raciocínio vale para \mathbf{r}_{v}.

Passo 5

Agora avaliamo-las no ponto paramétrico (u_{0},v_{0})=(1,1):
\mathbf{r}_{u}(1,1)=(2\cdot 1,\;0,\;1)=(2,0,1),
\mathbf{r}_{v}(1,1)=(0,\;3\cdot 1^{2},\;2)=(0,3,2).
Esses são dois vetores tangentes ao plano tangente no ponto (1,1,3).

Passo 6

Vamos achar um vetor normal ao plano usando o produto vetorial. Explico o produto vetorial rapidamente: dado \mathbf{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) e \mathbf{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}), o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor perpendicular a ambos, calculado pela determinante:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{vmatrix}.
Aplicando com \mathbf{r}_{u}(1,1)=(2,0,1) e \mathbf{r}_{v}(1,1)=(0,3,2):
\mathbf{n}=\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix}.
Computando a determinante coordenada a coordenada:
\mathbf{n}=\bigl(0\cdot 2-1\cdot 3,\;-(2\cdot 2-1\cdot 0),\;2\cdot 3-0\cdot 0\bigr)=(-3,\,-4,\,6).
Podemos usar esse vetor normal (qualquer múltiplo não-nulo serve também).

Passo 7

A equação do plano com normal \mathbf{n}=(-3,-4,6) que passa por (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,1,3) é
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-(1,1,3)\bigr)=0.
Escrevendo isso:
(-3,-4,6)\cdot(x-1,y-1,z-3)=0.
Fazendo o produto escalar e simplificando passo a passo:
-3(x-1)-4(y-1)+6(z-3)=0.
-3x+3-4y+4+6z-18=0.
Somando as constantes 3+4-18=-11:
-3x-4y+6z-11=0.
Multiplicando por -1 para ficar mais “bonito”:
3x+4y-6z+11=0.
Essa é a equação cartesiana do plano tangente.

Passo 8

Recapitulando de forma prática: encontramos (u_{0},v_{0})=(1,1), calculamos \mathbf{r}_{u} e \mathbf{r}_{v}, fizemos o produto vetorial para obter o normal e usamos a equação normal·(x-x0,y-y0,z-z0)=0 para obter a equação final do plano. Você consegue repetir esse procedimento em qualquer superfície paramétrica similar — é um padrão de resolução que vale para muitas questões de prova. Vai dar certo, continue!

Resposta

3x+4y-6z+11=0

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