Determine uma parametrização para o conjunto de todos ( x, y, z ) tais que \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1, onde a, b e c são constantes positivas.

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma parametrização para o conjunto de todos (x,y,z) tais que
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
onde a, b e c são constantes positivas.
Informações dadas que vamos usar: a>0, b>0, c>0. O conjunto descrito pela equação é a superfície fechada conhecida como elipsóide (análogo alongado do esférico) com semi-eixos a, b, c.

Passo 2

Ideia de solução (sem calcular ainda): uma maneira natural de parametrizar essa superfície é usar coordenadas angulares (semelhantes às coordenadas esféricas do caso da esfera unitária) e então “esticar” (escalar) cada coordenada pelo respectivo semi-eixo a, b, c. Vou explicar primeiro a parametrização da esfera unitária (que é a base) e depois mostrar como o escalonamento produz o elipsóide.

Passo 3

Relembrando a parametrização da esfera unitária: para a esfera de raio 1 (conjunto \{(x,y,z): x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}) usamos dois parâmetros angulares:
  • \varphi = ângulo polar (medido a partir do eixo z), com \;0\le \varphi \le \pi\;,
  • \theta = ângulo azimutal (no plano xy), com \;0\le \theta < 2\pi\;.
    A parametrização da esfera unitária é
x_s(\varphi,\theta)=\sin\varphi\cos\theta,\qquad y_s(\varphi,\theta)=\sin\varphi\sin\theta,\qquad z_s(\varphi,\theta)=\cos\varphi.
Por que isso funciona? Basta verificar:
x_s^2+y_s^2+z_s^2=\sin^2\varphi(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+\cos^2\varphi=\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1.
Aqui \sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1 é a identidade trigonométrica básica; e \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 também.

Passo 4

Agora faço o “esticamento” coordenada a coordenada: se eu multiplico a componente x_s por a, a componente y_s por b e a componente z_s por c, obtenho um ponto (x,y,z) dado por
x(\varphi,\theta)=a\sin\varphi\cos\theta,
y(\varphi,\theta)=b\sin\varphi\sin\theta,
z(\varphi,\theta)=c\cos\varphi.
Vou verificar que qualquer ponto dessa forma satisfaz a equação do elipsóide. Substituindo na equação:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = \frac{(a\sin\varphi\cos\theta)^{2}}{a^{2}}+\frac{(b\sin\varphi\sin\theta)^{2}}{b^{2}}+\frac{(c\cos\varphi)^{2}}{c^{2}}.
Simplificando cada termo (os a^{2}, b^{2}, c^{2} cancelam):
= \sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta + \sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta + \cos^{2}\varphi = \sin^{2}\varphi(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+\cos^{2}\varphi.
Usando \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 e \sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=1, obtemos
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}= \sin^{2}\varphi + \cos^{2}\varphi = 1.
Portanto a parametrização produz pontos que pertencem ao elipsóide.

Passo 5

Domínio dos parâmetros: para cobrir toda a superfície sem repetições desnecessárias, tome
0\le \varphi \le \pi,\qquad 0\le \theta < 2\pi.
Observação sobre pontos extremos: quando \varphi=0 temos o pólo norte (0,0,c) e quando \varphi=\pi temos o pólo sul (0,0,-c). Para valores intermediários de \varphi e \theta a parametrização dá as curvas de latitude/longitude esticadas do elipsóide.

Passo 6

Comentário didático rápido (ajuda na prova): a ideia chave é lembrar a parametrização da esfera unitária e aplicar o mapeamento linear diagonal
(x,y,z)\mapsto (ax,by,cz).
Esse mapeamento leva a esfera unitária ao elipsóide pedido. Essa técnica (parametrização da esfera + escalonamento) é muito útil para superfícies obtidas por dilatações coordenadas.

Resposta

\mathbf{r}(\varphi,\theta)=\bigl(a\sin\varphi\cos\theta,\; b\sin\varphi\sin\theta,\; c\cos\varphi\bigr)
0\le \varphi\le \pi,\qquad 0\le \theta<2\pi

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