Determine uma parametrização para o conjunto de todos (
) tais que
, onde
e
são constantes positivas.
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma parametrização para o conjunto de todos
tais que
onde
,
e
são constantes positivas.
Informações dadas que vamos usar: ,
,
. O conjunto descrito pela equação é a superfície fechada conhecida como elipsóide (análogo alongado do esférico) com semi-eixos
,
,
.
Informações dadas que vamos usar:
Passo 2
Ideia de solução (sem calcular ainda): uma maneira natural de parametrizar essa superfície é usar coordenadas angulares (semelhantes às coordenadas esféricas do caso da esfera unitária) e então “esticar” (escalar) cada coordenada pelo respectivo semi-eixo
,
,
. Vou explicar primeiro a parametrização da esfera unitária (que é a base) e depois mostrar como o escalonamento produz o elipsóide.
Passo 3
Relembrando a parametrização da esfera unitária: para a esfera de raio 1 (conjunto
) usamos dois parâmetros angulares:
-
= ângulo polar (medido a partir do eixo ), com , -
= ângulo azimutal (no plano ), com .
A parametrização da esfera unitária é
Por que isso funciona? Basta verificar:
Aqui
é a identidade trigonométrica básica; e
também.
Passo 4
Agora faço o “esticamento” coordenada a coordenada: se eu multiplico a componente
por
, a componente
por
e a componente
por
, obtenho um ponto
dado por
Vou verificar que qualquer ponto dessa forma satisfaz a equação do elipsóide. Substituindo na equação:
Simplificando cada termo (os
,
,
cancelam):
Usando
e
, obtemos
Portanto a parametrização produz pontos que pertencem ao elipsóide.
Passo 5
Domínio dos parâmetros: para cobrir toda a superfície sem repetições desnecessárias, tome
Observação sobre pontos extremos: quando
temos o pólo norte
e quando
temos o pólo sul
. Para valores intermediários de
e
a parametrização dá as curvas de latitude/longitude esticadas do elipsóide.
Passo 6
Comentário didático rápido (ajuda na prova): a ideia chave é lembrar a parametrização da esfera unitária e aplicar o mapeamento linear diagonal
Esse mapeamento leva a esfera unitária ao elipsóide pedido. Essa técnica (parametrização da esfera + escalonamento) é muito útil para superfícies obtidas por dilatações coordenadas.