2- Calcule a área da parte do plano z=1+2 x+3 y, sobre o retângulo -1 \leq x \leq 1 e 0 \leq y \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da parte do plano dada por \,z=1+2x+3y\, que está sobre o retângulo
R=\{(x,y)\mid -1\le x\le 1,\; 0\le y\le 2\}.
Informações dadas:
  • A superfície é o gráfico da função \,f(x,y)=1+2x+3y\,.
  • O domínio projetado no plano xy é o retângulo com extremos x=-1,x=1 e y=0,y=2.
    Pergunta a responder:
  • Qual é a área da porção do plano acima do retângulo R?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando temos uma superfície dada como gráfico de uma função \,z=f(x,y)\, sobre uma região plana R, a área da superfície sobre R é dada pela fórmula
\text{Área}(S)=\iint_{R}\sqrt{1+(f_x)^2+(f_y)^2}\,dA.Á
Explicação intuitiva:
  • f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y; elas medem a inclinação da superfície nas direções x e y.
  • Para cada pequeno retângulo dA em R, a área da porção da superfície acima dele é aproximadamente \sqrt{1+(f_x)^2+(f_y)^2}\,dA. Integrando sobre todo R somamos essas pequenas áreas.
    Aqui dA é o elemento de área no plano xy (para retângulos é simplesmente dx\,dy).

Passo 3

Identificar f e calcular as derivadas parciais.
Temos
f(x,y)=1+2x+3y.
As derivadas parciais são constantes porque f é linear:
f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=2, \qquad f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=3.
Significado: em qualquer ponto da superfície, ao mover uma unidade em x a altura muda em 2, e ao mover uma unidade em y a altura muda em 3.

Passo 4

Calcular o integrando \sqrt{1+(f_x)^2+(f_y)^2}.
Substituindo as derivadas:
\sqrt{1+(f_x)^2+(f_y)^2}=\sqrt{1+2^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.
Observação: como f_x e f_y são constantes, o integrando é constante sobre todo R.

Passo 5

Montar e avaliar a integral dupla.
A área é
\text{Área}(S)=\iint_{R}\sqrt{14}\,dA=\sqrt{14}\iint_{R} dA.Á
A integral de dA sobre R é a área do retângulo R. Calculamos a área de R:
\text{Área}(R)=(x_{\max}-x_{\min})\cdot(y_{\max}-y_{\min})=(1-(-1))\cdot(2-0)=2\cdot 2=4.Á
Portanto
\text{Área}(S)=\sqrt{14}\cdot 4=4\sqrt{14}.Á

Resposta

4\sqrt{14}

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