2- Calcule a área da parte do plano
, sobre o retângulo
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da parte do plano dada por
que está sobre o retângulo
Informações dadas:
- A superfície é o gráfico da função
. - O domínio projetado no plano
é o retângulo com extremos e .
Pergunta a responder: - Qual é a área da porção do plano acima do retângulo
?
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando temos uma superfície dada como gráfico de uma função sobre uma região plana
, a área da superfície sobre
é dada pela fórmula
Quando temos uma superfície dada como gráfico de uma função
Explicação intuitiva:
-
e são as derivadas parciais de em relação a e ; elas medem a inclinação da superfície nas direções e . - Para cada pequeno retângulo
em , a área da porção da superfície acima dele é aproximadamente . Integrando sobre todo somamos essas pequenas áreas.
Aquié o elemento de área no plano (para retângulos é simplesmente ).
Passo 3
Identificar
e calcular as derivadas parciais.
Temos
Temos
As derivadas parciais são constantes porque
é linear:
Significado: em qualquer ponto da superfície, ao mover uma unidade em
a altura muda em
, e ao mover uma unidade em
a altura muda em
.
Passo 4
Calcular o integrando
.
Substituindo as derivadas:
Substituindo as derivadas:
Observação: como
e
são constantes, o integrando é constante sobre todo
.
Passo 5
Montar e avaliar a integral dupla.
A área é
A área é
A integral de
sobre
é a área do retângulo
. Calculamos a área de
:
Portanto